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Xavier Zubiri Review, Volume 2, 1999, pp. 5-26
Zubiri, Lakatos y la crisis gödeliana del fundamento matemático
Guillerma Díaz Muñoz
Centro de Enseñanzas Integradas
Zaragoza, España
Introducción
El Teorema de Incompletitud[1] (1931) ha proporcionado a Gödel[2] una fama legendaria: es considerado "el descubridor de la verdad matemática más significativa de este siglo".[3] Marca un hito en la historia de la lógica matemática. Examinaremos, en primer lugar, esta contribución gödeliana y su significación en la historia de la lógica y de la matemática.[4]
El alcance filosófico del Teorema de Gödel no ha sido menor. Supone la conmoción de las distintas filosofías de la matemática de finales del siglo XIX y principios del siglo XX: el logicismo de Russell, el formalismo de Hilbert y el intuicionismo de Brouwer. Como dicen Nagel y Newman, "provocó una nueva valoración, todavía en trance de desarrollo, de una extendida filosofía de la matemática y de la filosofía del conocimiento en general". [5]
La gravedad de la situación es tal que va a obligar al filósofo a tomar una nueva posición intelectual. El propio Gödel, como examinaremos, inicia el giro del "apriorismo-idealismo" del Positivismo Lógico al "realismo" de la nueva filosofía de la matemática. En este punto, nuestra contribución consistirá en interpretar y potenciar, desde la perspectiva zubiriana de la inteligencia sentiente, el realismo tanteado de Gödel.
Creemos que la exigencia, planteada por los resultados de Gödel, de una nueva filosofía no-dogmática de la matemática (y del conocimiento, en general) tiene su máximo cumplimiento en dos autores: Lakatos y Zubiri. Sus interpretaciones del Teorema de Gödel -el principio de conservación de la falibilidad o de la sofisticación y la anterioridad de la realidad sobre la verdad, respectivamente- son ejes de sus filosofías de la matemática y del conocimiento. Sus posturas son dos alternativas a la crisis gödeliana del fundamento matemático. Por tanto, su estudio posibilitará un rico debate sobre esta cuestión capital para el filósofo. Nuestra aportación será la lectura del falibilismo lakatosiano desde la perspectiva zubiriana de inteligencia sentiente, que permite presentarlo como un falibilismo concipiente frente al falibilismo sentiente de Zubiri. Argumentaremos que el lakatosiano desemboca en el escepticismo (a pesar de su empeño por evitarlo) mientras que el zubiriano posibilita el conocimiento matemático y su progreso. Este resultado lo arrojará la fundamentación del regreso al infinito -piedra de toque del escepticismo- en la respectividad de lo real.
Por último, analizaremos lo que denominamos revolución gödeliana en la "noología" zubiriana y la inviabilidad de una inteligencia artificial y racionalidad algorítmica.
El Teorema de Gödel y su significación en la matemática.
El Teorema de Gödel está en el contexto del planteamiento que Hilbert hace de los sistemas formales. El programa formalista de éste tiene la pretensión de formalizar toda la matemática clásica.[6] Establece como requisitos y problemas fundamentales de un sistema formal matemático la consistencia[7] y la completitud.[8] Los resultados de Gödel resuelven de modo negativo estas dos cuestiones.
En 1931, Gödel da pruebas de sus descubrimientos en el artículo "Sobre sentencias formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines".[9] Muestra que no hay ningún sistema formal matemático[10] con un número finito de axiomas que sea completo; por el contrario, hay problemas relativamente simples de la aritmética de números naturales que no pueden ser decididos con sus axiomas y reglas.
Para probarlo, lleva a cabo la aritmetización de la metamatemática partiendo de la asignación biunívoca de números naturales (números de Gödel) a los signos primitivos, sentencias y pruebas.[11] De este modo, espera que unas proposiciones metamatemáticas acerca de un sistema formalizado de aritmética puedan ser representadas por proposiciones aritméticas contenidas dentro del propio sistema. Este método le permitió construir una fórmula que afirma su propia indeducibilidad y resulta ser indecidible, con lo cual es verdadera.[12] La sentencia indecidible en el sistema formal de Principia Mathematica es decidida mediante consideraciones metamatemáticas. Al ser, pues, la sentencia indecidible y verdadera, los axiomas del sistema formal que incluye la aritmética son incompletos, esto es, no podemos deducir todas las verdades aritméticas de los axiomas.
La incompletitud es esencial en los sistemas formales que incluyan la aritmética, porque aunque se introduzca como axioma aquél que permita derivar la proposición indecidible surgirá otra proposición indecidible, y así sucesivamente. A este resultado se le suele denominar primer teorema de incompletitud.
Una consecuencia de la incompletitud es la relativa a la prueba de consistencia del sistema. En efecto, Gödel muestra que es imposible obtener una prueba finitaria de consistencia (en los términos planteados por los formalistas) para un sistema formal que contenga formalizados todos los modos finitarios de prueba. A través del mismo método, pudo construir otra fórmula aritmética correspondiente a la proposición metamatemática "el cálculo es consistente" y demostrar su indemostrabilidad dentro del cálculo. No hay, pues, prueba alguna de la consistencia del cálculo que pudiera ser formalizada en el mismo, suponiendo que sea consistente (de lo contrario cualquier fórmula sería deducible). A este resultado se le denomina el segundo teorema de incompletitud[13].
La repercusión del trabajo de Gödel dentro del área de la fundamentación matemática es difícil de exagerar.[14] Sin embargo, resulta decepcionante -y en primer lugar lo sería para el autor que concentró toda su energía y entusiasmo intelectual en esta área convencido de su relevancia en la totalidad matemática- constatar que su impacto en la práctica de los matemáticos es insignificante. Como dice Hao Wang,
IA [el Teorema de incompletitud de la Aritmética] ha tenido en conjunto poca influencia sobre la práctica matemática. Naturalmente, si (algún sistema formal de ) la aritmética hubiera resultado ser completo (y, por ende, decidible), la investigación en teoría de números habría adoptado una forma totalmente distinta.
Su impacto ha sido mayor "sobre las cuestiones conceptuales que tienen que ver con los computadores y la mecanización, cuestiones que son una preocupación central en la tecnología actual".[15] Sin embargo, esta rama no interesó directamente a Gödel.
Su incidencia en las "escuelas" de filosofía de la matemática: logicismo, formalismo e intuicionismo
El Teorema de Gödel ha pretendido revolucionar la filosofía de la matemática mostrando su inadecuación e insuficiencia para explicar el fundamento de la matemática y comprender su naturaleza. Brevemente aludimos a su impacto en las tres "escuelas" de filosofía de la matemática de finales del s. XIX y principios del s. XX.
a) El Teorema de Gödel y el logicismo.
El Teorema de incompletitud significa para el logicismo de Russell y Whitehead el fracaso de su intento de construir un sistema lógico que permita incluir la aritmética. Pone de manifiesto que la verdad matemática es de amplitud mayor que la verdad lógica y, por tanto, la irreductibilidad de la matemática a la lógica. W. y M. Kneale (1961) señalan el desafío del resultado gödeliano a la identificación que hace Russell entre matemática y lógica. Escribe Russell en el último capítulo de su Introduction to Mathematical Philosophy:
Si todavía hay quien no admita la identidad de la lógica y la matemática, podemos desafiarle a que nos muestre en qué punto de la cadena de definiciones y deducciones de los Principia Mathematica considera que concluye la lógica y comienza la matemática.
Los Kneale comentan:
Desde Gödel, parece razonable responder que la lógica no se extiende más allá de la teoría de la cuantificación. Cuando decimos que la aritmética y, con ella, todos los llamados cálculos funcionales de orden superior, así como todas las versiones de la teoría de conjuntos, son esencialmente incompletos, estamos efectivamente admitiendo que esas teorías envuelven alguna noción, o más de una, de la que no cabe ofrecer una exhaustiva caracterización mediante el establecimiento de una serie de reglas de inferencia: y ésta parece constituir una buena razón para excluirlas del dominio de la lógica.... carecería de objeto afirmar la posibilidad de reducir toda la matemática a la lógica si, al mismo tiempo, hubiera que admitir que la lógica incluye dentro de sí todos y cada uno de los diversos apartados de la matemática".[16]
b) El Teorema de Gödel y el formalismo
Respecto al formalismo de Hilbert, Gödel demostró los límites internos de los sistemas formales.[17] La matemática es inagotable desde cualquier sistema formal: siempre contendrán verdades matemáticas indecidibles. El método axiomático es de fecundidad limitada. Las afirmaciones aritméticas son irreductibles a las de un sistema formalizado (tanto si sus axiomas son lógicos como si son una sistematización de axiomas lógicos y aritméticos). Como señala Morris Kline,
El fenómeno de la incompletitud constituye un importante defecto porque entonces el sistema formal no es adecuado para demostrar todas las afirmaciones que podrían serlo correctamente (sin contradicción) dentro del sistema.[18]
Y explícitamente dice W.V. Quine:
El descubrimiento de Gödel constituyó una sacudida a la concepción clásica. Se suponía que la misma naturaleza de la verdad matemática era su demostrabilidad. Pero no es así.[19]
c) El Teorema de Gödel y el intuicionismo
Estos resultados también son decisivos para el intuicionismo de Brouwer. Aunque de algún modo ya habían sido vistos por éste -razón por la que se extrañaba de la gran importancia que se les había dado- sin embargo, el mérito de Gödel está en haber construido unas pruebas formales claras para mostrar la existencia concreta de proposiciones indecidibles a partir del sistema formal que incluye la aritmética elemental. Del mismo modo probó que la consistencia no puede demostrarse dentro del sistema. Por tanto,
el trabajo les hizo ver de qué modo el uso apropiado de métodos formales podía llevar a conclusiones precisas que ellos sólo podían ver en parte y de forma imprecisa.[20]
Gödel y la conmoción de la filosofía de la matemática del Positivismo Lógico.
En la figura de Gödel, el matemático y el filósofo quedan maravillosamente aunados. Por consiguiente, para valorar las consecuencias filosóficas de su Teorema de Incompletitud, hemos de dirigir nuestra mirada, en primer lugar, al Gödel-filósofo,[21] quien dice:
Es cierto que mi interés por los fundamentos de la matemática surgió a través del contacto con el "Círculo de Viena", pero las consecuencias filosóficas de mis resultados, lo mismo que los principios heurísticos que llevan a ellos son cualquier cosa menos positivistas o empiristas... He sido un realista conceptual y matemático desde 1925 aproximadamente. Nunca he mantenido la tesis de que la matemática sea sintaxis del lenguaje, sino que por el contrario esta tesis, en cualquiera de sus sentidos razonables, puede ser refutada con mis resultados.[22]
Con frecuencia, Gödel es erróneamente considerado miembro del Círculo de Viena.[23] Como él constata, éste es su horizonte filosófico;[24] sin embargo, su postura es no-positivista.[25] Más aún, es consciente de que sus resultados son puntal de la concepción realista de la matemática (como las geometrías no-euclídeas lo fueron de la objetivista y convencional). El Teorema de Incompletitud conmociona la concepción del Positivismo Lógico.[26] Brevemente, ésta puede caracterizarse por la defensa de las siguientes tesis:[27] la naturaleza logicista de la matemática, esto es, la reducción de la matemática a la lógica; la identificación de la verdad matemática con la demostrabilidad, y la existencia matemática con la consistencia lógica; el carácter tautológico -a priori y vacío de contenido factual- de sus proposiciones; y, en definitiva, la tesis de que la matemática es "sintaxis" del lenguaje: sólo nos ilustra la manera como utilizar ciertos signos o símbolos y de sus implicaciones y posibilidades. Gödel se opone a esta concepción que defienden sus maestros, Hahn, Schlick y Carnap, y afirma que el formalismo, nominalismo e instrumentalismo son insatisfactorios como interpretación de las matemáticas. La matemática es, para él, ciencia de "entes" reales.[28] Refiriéndose a los objetos de la teoría de conjuntos transfinita dice que, aunque no pertenecen al mundo físico e incluso su papel en la física actual es escaso, tienen alguna realidad.
...a pesar de su lejanía de la experiencia sensible, tenemos algo parecido a una percepción de los objetos de la teoría de conjuntos, como se puede ver por el hecho de que los axiomas mismos nos fuerzan a aceptarlos como verdaderos. No veo ninguna razón por la cual debamos tener menos confianza en este tipo de percepción, es decir, en la intuición matemática, que en la percepción sensible, que nos induce a construir teorías físicas y a esperar que futuras percepciones sensibles concuerden con ellas y, además, a creer que cuestiones no decidibles por el momento tengan significado y puedan ser decididas en el futuro.[29]
Ciertos axiomas, no deducidos dentro del sistema, se nos imponen con la fuerza de tener que admitirlos como verdaderos. Podemos decir que su verdad nos tiene poseídos. Que esto sea así, sólo se explica si admitimos, como hace Gödel, algún tipo de realidad en las verdades matemáticas, frente al Positivismo Lógico.
Pero, ¿está defendiendo Gödel un realismo platónico de los entes matemáticos? Él reconoce la influencia de Platón; sin embargo, a nuestro modo de ver, no se identifican ambas posturas. Para Platón la intuición racional da de modo inmediato el objeto matemático (aunque pasemos de unos a otros de modo discursivo); no tenemos que formarlo. Mientras que para Gödel la intuición no da el contenido matemático de la intuición, sino algo que permite elaborarlo. Tienen suma importancia para constatarlo las siguientes palabras de este suplemento de 1963:
Debería observarse que la intuición matemática no tiene que ser concebida como una facultad que proporcione un conocimiento inmediato de los objetos que le conciernen. Parece más bien que, como en el caso de la experiencia física, formamos también nuestros conceptos de estos objetos a partir de algo más que es inmediatamente dado. Sólo que este algo más no es aquí, o no principalmente, la sensación. Que además de las sensaciones hay algo real e inmediatamente dado se sigue (independientemente de las matemáticas) del hecho de que incluso nuestros conceptos referentes a los objetos físicos contienen constituyentes cualitativamente diferentes de las sensaciones o meras combinaciones de las sensaciones.[30]
Este "más" que subyace a las matemáticas es donación de la realidad objetiva, pero de un modo distinto a la de las sensaciones,
Lo "dado" que subyace a las matemáticas... pueden representar más bien un aspecto de realidad objetiva, pero, en oposición a las sensaciones, su presencia en nosotros puede deberse a otro tipo de relación entre la realidad y nosotros mismos.[31]
Desde la perspectiva zubiriana, adelantamos que la concepción del realismo matemático de Gödel es concipiente y no sentiente. Parte de la dualidad entre sentidos e inteligencia. De ahí que esta explicación conceptiva de la naturaleza realista de la matemática resulta, a la luz de inteligencia sentiente, un balbuceo del realismo zubiriano. Éste queda explícito si sustituimos las expresiones de Gödel por las de Zubiri: "intuición" por "aprehensión primordial de realidad"; "algo más que es inmediatamente dado" por "formalidad de realidad"; "sensaciones" por "contenido de realidad".
La inteligencia sentiente aprehende por la potencia del sentir un componente específico, el contenido o cualidades sensibles, y por la potencia de la inteligencia un componente inespecífico, la formalidad de realidad. La unidad de inteligencia sentiente ofrece la unidad de la realidad en su contenido y formalidad. La formación de nuestros conceptos de los objetos matemáticos es, desde la inteligencia sentiente, construcción sentiente del contenido de la realidad "según conceptos".
El giro gödeliano, que acabamos de examinar, permite hablar de una filosofía de la matemática antes de Gödel y otra después de él. A continuación examinamos dos alternativas post-gödelianas al Positivismo Lógico: Lakatos y Zubiri.
Dos alternativas post-gödelianas al Positivismo Lógico en filosofía de la matemática
El Teorema de incompletitud abre una crisis del fundamento matemático que pone en grave peligro la noción de verdad matemática. El dogmatismo matemático resulta inviable: no hay un conocimiento adecuado y completo de la matemática. Ahora bien, ¿cómo evitar el escepticismo? Esta es la cuestión que nos ocupa en las filosofías de la matemática de Lakatos y de Zubiri.
1. Falibilismo crítico de Lakatos
Lakatos señala que el problema de los fundamentos del conocimiento matemático de finales del s. XIX y principios del s. XX es un capítulo del problema del fundamento del conocimiento en general[32]; por consiguiente, es a su luz donde debe examinarse. Las dos posturas dadas al problema del conocimiento son: 1. el dogmatismo que defiende la posibilidad del conocimiento y cuya tarea consiste en encontrar un fundamento "infalible" sobre el cual construir con certeza todas las verdades; 2. el escepticismo que considera imposible el conocimiento porque no puede evitarse el regreso al infinito.
De estas dos posturas, el escepticismo ha ido ganando terreno en las ciencias empíricas; sin embargo, no ha podido penetrar en el área de la matemática, que permanece como baluarte del dogmatismo. Después de cualquier crisis de fundamentos surgen nuevas "escuelas" que restauran la certeza matemática. Las filosofías logicista y formalista de las matemáticas, dice Lakatos, constituyen los últimos eslabones "de la larga cadena de filosofías dogmáticas de las matemáticas". He aquí el reto lakatosiano: poner fin al refugio matemático del dogmatismo.
Las matemáticas han constituido la orgullosa fortaleza del dogmatismo. Siempre que el dogmatismo matemático de la época entraba en 'crisis', una nueva versión suministraba de nuevo genuino rigor y fundamentos últimos, restaurando con ello la imagen autoritaria, infalible e irrefutable de las matemáticas...La mayoría de los escépticos se rindieron ante el carácter inexpugnable de este reducto de epistemología dogmática. Ya es hora de lanzarle un reto.[33]
El Teorema de Gödel es precisamente la lanza de Lakatos contra el dogmatismo matemático. Significa el fracaso del ideal leibniziano de infalibilidad de la matemática,[34] continuado en la doble dirección logicista (Frege y Russell) y formalista (Hilbert). Pero, ¿necesariamente tenemos que adoptar el escepticismo que se detiene en la duda permanente? Lakatos trata de evitarlo desde una postura mucho más modesta que la certeza, la falibilidad.
Lakatos sigue el falibilismo crítico de Popper en la ciencia.
El falibilismo crítico de Popper toma en serio el regreso infinito en las pruebas y definiciones; no se hace ilusiones acerca de su "detención"; acepta la crítica escéptica de toda inyección de verdad infalible. En su planteamiento no hay fundamentos del conocimiento, ni en la cúspide ni en la base de las teorías, pero puede haber inyecciones de verdad tentativas e inyecciones de significado tentativas en cualquier punto.[35]
Pero, a diferencia de Popper, se propone aplicarlo a la matemática:
Pero albergo sentimientos muy duros contra la teoría lingüística y convencionalista de Popper sobre la matemática y la lógica... Y, en consecuencia, soy falibilista, no sólo en ciencia, sino también en matemáticas y lógica.[36]
1.1 Teorema de Gödel: Principio de conservación de la falibilidad o sofisticación
El Teorema de Gödel tiene una honda repercusión en la génesis de la filosofía de la matemática de Lakatos, el falibilismo crítico, y, por otra parte, como veremos que ocurre también en Zubiri, su pensamiento arroja nueva luz sobre la interpretación de dicho teorema. Dice Lakatos:
"En realidad, el primer teorema de Gödel constituye un principio de conservación de la sofisticación, o un principio de conservación de la falibilidad" [37]
El teorema de Gödel significa, pues, el triunfo en la matemática de la sofisticación falible frente a la trivialidad infalible. Aclaramos a continuación a qué programa aplica Lakatos la trivialidad infalible y cómo a partir de los resultados del Teorema de Gödel se propaga la sofisticación y la falibilidad matemática.
Según el nivel en el que se inyecta el valor-de-verdad y el significado de los términos, las teorías pueden ser, según Lakatos, euclídeas y empiristas. Mientras que el Programa Euclídeo los pone en la cúspide, el Programa empirista [38] los pone en la base. De estos dos, al primero lo denomina Programa de trivialización del conocimiento, en cuanto que las teorías están formadas por axiomas infalibles que constan de términos primitivos perfectamente conocidos, y el tipo de prueba que emplea para demostrar los teoremas garantiza la verdad y la transmite de arriba-abajo.
Puesto que el Programa Euclídeo implica que todo conocimiento puede deducirse de una conjunción de proposiciones trivialmente verdaderas que constan sólo de términos cargados de significado trivial, lo llamaré el Programa de la Trivialización del Conocimiento.[39]
Dos tipos de Programas Euclídeos o de Programas de la Trivialización del Conocimiento son: el programa "logicista" y el programa "formalista" de la matemática. Su fin es fundamentar la matemática frente a la crítica escéptica. La pretensión de verdad infalible, o certeza absoluta, la realizan a costa de la trivialización del contenido. Ahora bien, este intento choca con el Teorema de Gödel, que pone de manifiesto, según Lakatos, que el regreso al infinito en pruebas y definiciones no puede detenerse; ello obliga a logicistas y formalistas a admitir la sofisticación y falibilidad del conocimiento.
a) Regreso al infinito y el logicismo de Russell.
Lakatos constata el giro dado por Russell desde el dogmatismo a su desconcierto posterior,[40] que le lleva a abandonar el euclideanismo y a decir: "la espléndida certeza que yo siempre había esperado encontrar en la matemática se había perdido en un laberinto desconcertante...".[41] Pero no ha sacado todas sus consecuencias del abandono del euclideanismo, a saber,
El regreso al infinito en las pruebas y definiciones de la matemática no se puede detener con una lógica euclídea. La lógica tal vez explique la matemática, pero no puede probarla. La matemática conduce a una especulación sofisticada que es cualquier cosa menos algo trivialmente verdadero...[42]
Por consiguiente, según Lakatos, la pretendida trivialización lógica de las matemáticas degeneró en un sistema sofisticado.
La teoría lógica de la matemática constituye una especulación estimulante y sofisticada, como cualquiera otra teoría científica. Constituye una teoría empirista, y en consecuencia si no se muestra que es falsa, permanecerá conjetural para siempre.[43]
b) Regreso al infinito y la meta-matemática de Hilbert.
Igual que en el logicismo, la pretensión de certeza absoluta de la meta-matemática, dice Lakatos, choca con los resultados de Gödel, que llevan a admitir la sofisticación y la falibilidad de la matemática.
El segundo teorema de Gödel supuso un golpe decisivo para esta confianza en una meta-matemática euclídea. El regreso al infinito de las pruebas no desaparece en una meta-teoría 'finitista' trivial: Las pruebas de consistencia han de poseer la suficiente complejidad como para hacer dubitable la consistencia de la teoría en la que tales pruebas se llevan a cabo, y por tanto están condenadas a ser falibles.[44]
El primer teorema de Gödel es otra manera de mostrar que la meta-matemática no detiene el regreso al infinito en las pruebas. La formalización que incluye la aritmética "está irreparablemente enferma", porque siempre hallaremos modelos no pretendidos, esencialmente diferentes al pretendido, tal que en unos se mostrará una fórmula y en otros la contraria, con lo cual siempre habrá verdades aritméticas indecidibles en el sistema formal. La verdad y el resultado de una prueba no son, pues, equivalentes. Esto supone el final del 'formalismo' hilbertiano, que creía haber proporcionado un concepto claro de prueba en matemática. Los post-hilbertianos con sus meta-teorías enriquecidas vienen a confirmar la sofisticación y falibilidad.
En conclusión, el Teorema de incompletitud -en manos de Lakatos- es la afirmación del regreso al infinito (que implica la falibilidad y sofisticación). ¿En qué punto nos sitúa frente al dogmatismo y al escepticismo? ¿Qué repercusión tiene para la fundamentación de la matemática?
Respecto al dogmatismo, logra la victoria ante el reto que inicialmente se había planteado Lakatos: acabar con el refugio matemático del dogmatismo y, en concreto, de sus dos últimas fortalezas, el logicismo de Russell y el formalismo de Hilbert. Pone fin al sueño euclídeo-cartesiano de la trivialización del conocimiento no sólo en la ciencia, sino también en lógica y en matemática. Nunca llegaremos a tener un conocimiento completo ni último en la matemática. ¡Cuánto ha costado este triunfo! Sin embargo, ¿no conduce a la derrota escéptica? Responde Lakatos:
Pero ello no lleva necesariamente al escepticismo matemático: sólo obliga admitir la falibilidad de una especulación audaz.[45]
Su propósito es mostrar que la matemática es conjetural, pero sin que signifique necesariamente abandonar la razón por completo. La matemática no puede seguir sosteniendo su certeza pareja a la trivialidad de su contenido, como ha pretendido el Positivismo Lógico, sino que consiste en conjeturas audaces y profundas, a costa de su falibilidad. El regreso al infinito matemático imposibilita la fundamentación de la matemática (conclusión no compartida por Zubiri, como veremos). Lakatos sustituye esta tarea fundamentalista por el problema del avance del conocimiento. Pero ¿Cómo sabemos que avanzamos? Afirma: "lo conjeturamos".[46]
A la luz de la filosofía de Zubiri, podemos ver que Lakatos tiene una noción "concipiente" de fundamento: éste es principio lógico o intuición evidente. Zubiri dará una nueva noción que permite una salida distinta a la que plantea Lakatos con los siguientes interrogantes:
Pero ¿Por qué empeñarse en pruebas 'últimas' y autoridades 'decisivas'? ¿Por qué buscar fundamentos, si se acepta que son subjetivos? ¿Por qué no admitir honestamente la falibilidad matemática, e intentar defender la dignidad del conocimiento falible contra el escepticismo cínico, en lugar de hacernos la ilusión de que podremos reparar, hasta que no se note, el último rasgón del tejido de nuestras intuiciones 'últimas'?[47]
1.2 Giro matemático del ideal euclídeo al ideal empírico
Lakatos considera que el Teorema de Gödel contribuye, junto a la conservación de la sofisticación falible, al giro revolucionario de la concepción racionalista de la matemática al renacimiento del empirismo en la reciente filosofía de la matemática.[48] Éste no es un hecho aislado, sino que se da en numerosos filósofos de la matemática.[49] Por tanto, queda invalidada la demarcación logicista de las ciencias sostenida por el Positivismo Lógico entre las ciencias naturales -a posteriori, empíricas y falibles- y la matemática -a priori, tautológica e infalible.[50] En la Tabla 1, vemos esquemáticamente el giro en matemática del ideal euclídeo al ideal cuasi-empírico, al que contribuye poderosamente el Teorema de Gödel.
2. Realismo constructivo de Zubiri
La tarea de fundamentar la matemática le viene impuesta a Zubiri por su situación intelectual, la crisis gödeliana de los fundamentos matemáticos tal y como los conciben el formalismo, el logicismo y el intuicionismo. Afirma que "los problemas filosóficos nacen de la necesidad de fundamentar la ciencia objetiva y de interpretar sus resultados";[51] de ahí el interés filosófico de la ciencia, y de modo específico de la matemática.[52] Por ello, pensamos que los problemas filosóficos zubirianos de la intelección y de la realidad se forjan, al menos en gran parte, ante la necesidad de fundamentar la Matemática y de interpretar los resultados del Teorema de Gödel.
El choque de las tres "escuelas" de filosofía de la matemática: intuicionismo, formalismo y logicismo, con el Teorema de Incompletitud significa, en el fondo, la conmoción de la noción de inteligencia de la que parten, a saber, de la inteligencia sensible o inteligencia concipiente.[53]. La solución a la crisis gödeliana del fundamento matemático lleva a Zubiri a debatirse con el legado del pasado y a alumbrar la nueva noción de inteligencia sentiente,[54] cuyo acto único es impresión de realidad. La tesis zubiriana clave es que "la inteligencia concipiente está constitutivamente fundada en la inteligencia sentiente".[55]. En la perspectiva de inteligencia sentiente hay que apoyarse, según él, para toda consideración filosófica.
Ideal euclídeo
Ideal cuasi-empírico
Busca verdades auto-evidentes. Busca "hipótesis imaginativas y audaces con una gran potencia explicativa y heurística". Es siempre conjetural. La lógica infalibilista del descubrimiento es instrumento de prueba. El método es la deducción--prueba demostrativa- de teoremas a partir de axiomas, lemas o definiciones. La lógica falibilista del descubrimiento es instrumento de crítica. El patrón dialéctico es: conjeturas, pruebas y refutaciones. El resultado es el desarrollo continuo y acumulativo de verdades eternas. El resultado es la lucha de teorías competitivas, la Revolución permanente y Proliferación de teorías. Tabla 1. Comparación del ideal euclídeo y el ideal cuasi-empírico de la matemático
El realismo constructivo no nace como una escuela añadida a las anteriores en su intento de fundamentar la matemática, sino que tiene la pretensión de fundamentar y vertebrar las otras escuelas. Todo lo matemático, dice Zubiri, es una construcción de inteligencia sentiente.[57] La construcción sentiente, a diferencia de la construcción conceptiva, no es una forma de conceptualización sino de realización, llevada a cabo sentientemente. Se trata de realizar un contenido creado "según conceptos" en la formalidad de realidad dada en inteligencia sentiente. Sólo sintiendo, en primer lugar, lo matemático podemos construir la matemática.[58]
El intuicionismo y el axiomatismo formalista tienen en común que son construcciones "conceptivas" de la matemática y, por tanto, insuficientes como fundamentación de la misma; ambas precisan ser incardinadas en un fundamento común, la inteligencia sentiente. Se contraponen desde el punto de vista del contenido, pero no desde la formalidad de realidad. Tanto la construcción de Gödel-Cohen como la de Brouwer requieren una fundamentación.
Sin esta construcción y postulación radical y primaria serían imposibles tanto los axiomas de Zermelo-Fraenkel y los conjuntos de Cohen como el intuicionismo de Brouwer.[59]
2.1. Teorema de Gödel.
2.1.1 Anterioridad de la realidad sobre la verdad.
Zubiri considera insuficiente la interpretación "usual" del Teorema de Gödel como limitación de los sistemas formales; porque, a nuestro modo de ver, es una interpretación "lógica" o "concipiente", vía que dicho descubrimiento conmociona. Zubiri, desde su concepción de inteligencia sentiente, da una interpretación más adecuada.
I. Primer Teorema de Gödel: los Principia u otro sistema que permita desarrollar la aritmética es esencialmente incompleto.[60]
Este Teorema significa que los postulados no son enunciados lógicos, sino contenidos de realidad.[61] Se postula, pues, contenido de realidad, no verdad. De este modo, se pone de manifiesto la anterioridad de la realidad matemática sobre su verdad. La realidad da su verdad. Es el alegato de realismo frente a todo idealismo. Así, pues, el objeto matemático no resulta de una construcción "conceptiva" o acto de "ideación", sino de una realización "según conceptos" en "la" realidad física. Si descubrimos nuevas propiedades no postuladas en el sistema, esto es, verdades no deducibles del sistema de axiomas, es porque la realidad tiene un carácter abierto, respectivo y es "más" que cualquier conjunto de notas determinado:
El objeto real postuladamente realizado según conceptos tiene, por estar realizado, más notas o propiedades que las definidas en su postulación. Por esto y sólo por esto es por lo que plantea problemas que pueden no ser resolubles con el sistema finito de axiomas y postulados que han definido su realización. Lo construido en "la" realidad es, por estar realizado, algo más que lo postulado al realizarlo. Es a mi modo de ver el alcance del teorema de Gödel.[62]
II. Segundo teorema de Gödel. Zubiri lo recoge y saca sus implicaciones filosóficas.
La verdad es que jamás podrá demostrarse positivamente la no contradicción de un verdadero sistema de notas o conceptos objetivos, ni tan siquiera en el dominio de la matemática (teorema de Gödel).[63]
¿Cuál es el alcance de esta no-contradicción? Constituye un límite, pero no funda una entidad positiva. No es lo mismo hablar de "incontradicción" referida a conceptos objetivos que a realidad física. Y en la matemática, según hemos visto en la interpretación zubiriana del teorema de incompletitud, no se trata de conceptos objetivos sino de realidad postulada. Y esto es esencial.
La unidad real no es simple incontradicción, sino solidaridad física, esto es, versión de cada nota al "estar desde sí misma determinada a formar unidad con las demás". Las notas son nota-de las demás. Hay una "vinculación física como momento intrínseco de la realidad física de cada nota". No se trata, pues, de posibilidad objetiva sino de posibilidad física del sistema de axiomas o postulados.[64] Esto sería una sutileza si la naturaleza de la matemática fuera lógica, porque la mera posibilidad lógica sería posibilidad matemática. Por el contrario, la realidad del objeto de la matemática muestra que su posibilidad física no es mera posibilidad lógica.[65]
Ciertamente, lo contradictorio no podrá realizarse jamás. Pero ¿Cuándo es algo contradictorio? El principio de contradicción -que afirma que jamás pueden realizarse en la misma cosa y aspecto dos notas contradictorias- es verdadero y evidente. Ahora bien, con seguridad sólo lo podemos aplicar "en el orden de lo formalmente concebido en cuanto tal":
Si lo trasladamos del orden de la objetividad al orden de la realidad, es decir, a las cosas en que los conceptos objetivos están realizados según su propia razón formal, la cuestión cambia de aspecto. Porque la condición para que se aplique el principio de contradicción es que se trata de una cosa que no sea sino lo que formalmente contienen las notas objetivamente concebidas. Y aquí empiezan las dificultades. Porque esta condición, ¿es ella misma posible? No lo creo.[66]
Gödel muestra que el programa de Hilbert de probar que la matemática carece de contradicción es inviable por las dificultades con que se encuentra. Un grave problema para la aplicación del principio de no-contradicción a la matemática es que el objeto matemático no es "ser posible" sino "realidad postulada", inagotable desde el punto de vista del contenido. En efecto, por estar realizados los postulados y definiciones, tienen más propiedades que las notas objetivamente concebidas; no sólo las implicadas, sino también todas las propiedades "com-plicadas", "co-puestas", por el mero hecho de haber sido puestas o realizadas las primeras. El contenido que expresan los postulados matemáticos al realizarse se abre al "más" en que consiste la realidad.
"La realización, sea en el orden físico o en el objetual, es en cuanto tal, raíz de otras propiedades. En tal caso no es que no sea verdadero para esas cosas el principio de contradicción, sino que su aplicación resulta problemática y vidriosa, dado que el sujeto al que se aplica es complejo y la pureza formal del concepto puede sufrir limaduras importantes".[67]
Otra dificultad estriba en que la aplicación del principio de contradicción requiere acotar la realidad, lo cual es artificioso porque la realidad está toda ella conectada. La comunicación o extensidad es, en efecto, un carácter trascendental de la realidad. El dato primario es la unidad de la respectividad de la realidad en cuanto tal, esto es, el mundo. Así, pues, para la aplicación adecuada del principio de "contradicción" tendría que estar presente "la totalidad de la realidad en su integridad", como sujeto de atribución del logos. Pero este logos no se da, en ningún caso, en el ser humano.
De ahí que muchas cosas que pertinazmente han podido parecer contradictorias, no lo sean en realidad y recíprocamente; no porque no sea verdad el principio de contradicción, sino porque la realidad no realiza el supuesto de la "dicción", a saber, contener sujetos desconectados.[68]
No puede identificarse la existencia de "entes" matemáticos con su mero concepto incontradictorio, porque son insalvables las dificultades de lograr el supuesto en el que se apoya el principio de no-contradicción.[69] Los conceptos lógicos, frente a toda concepción racionalista, no son fundamentos de las realidades matemáticas. Éstas son posible por un momento esencial físico de ellas, no por la consistencia de un sistema formal. Se han invertido los términos: no es lo posible fundamento de lo real, sino lo real fundamento de lo posible. La realidad matemática es anterior a la lógica matemática. La no-contradicción es primariamente un carácter de la realidad dada, y no necesidad de un concepto. Zubiri quiere disipar el equívoco de aplicar la necesidad lógica como un a priori a las afirmaciones sobre la realidad. Por el contrario, la realidad es incontradictoria y nos fuerza a respetar este carácter suyo en toda afirmación o realización de una simple aprehensión en ella. El ámbito del principio de contradicción está en la afirmación en cuanto afirmado, no en el acto de la afirmación.[70].
2.1.2 Toda verdad matemática es aproximación aspectual
El teorema de Gödel significa que la verdad matemática es conforme, pero no adecuada a la realidad matemática; es mera aproximación a la realidad "postulada".[71] Zubiri sale al paso de la objeción de que la matemática enuncia proposiciones exactas de la realidad matemática, aclarando que no quiere decir que sean adecuadas, sino que su aproximación es distinta de la inexactitud.[72] La cuestión es si las propiedades rigurosamente conformes a la cosa recubren adecuadamente aquello a que se refieren, por ejemplo, a un número o a una figura.
Todo objeto matemático se define y postula no aisladamente, sino en relación con el conjunto entero a que pertenece. En este sentido, "cada cosa [ente matemática] no es sino un 'aspecto' de esta totalidad, es una realización aspectual de lo definido y postulado... Sólo de este carácter aspectual recibe su realidad cada "cosa" matemática".[73] Si el todo sólo fuera el conjunto de las partes postuladas y definidas, éstas serían conocidas en cuanto aspectos de forma adecuada. Pero, según el Teorema de Incompletitud, lo postulado y definido por ser contenido de realidad, siempre tiene más caracteres que los meramente postulados y definidos. La conclusión que saca Zubiri es que "entonces, la intelección adecuada de cada cosa en ese todo se deja, en cada paso, fuera de lo definido y postulado, propiedades a las que no alcanza el movimiento intelectivo".[74]
Cada conformidad es una inexorable aproximación a una adecuación. De ahí que haya en la matemática aproximación de aspectualidad. En la concepción logicista y formalista de la matemática no hay esta distinción entre conformidad y adecuación, porque el objeto matemático es idéntico al objeto lógico. Por ello, el teorema de Gödel pone de relieve: primero, la "realidad" postulada de lo matemático y, segundo, el carácter de aproximación aspectual de la verdad matemática. Transcribimos el texto de Zubiri que refleja lúcidamente la potencia filosófica del Teorema de Gödel, barruntada por otros autores:
Si la matemática no fuera más que un sistema de teoremas y demostraciones lógicamente encadenadas, la distinción entre conformidad y adecuación no pasaría de ser una sutileza conceptual. Pero la matemática no es eso; es la intelección de realidades matemáticas, dotadas de estructura propia. Por eso es por lo que a mi modo de ver el teorema de Gödel no sólo remite a la "realidad" postulada sino que muestra que respecto de ella toda verdad matemática es una aproximación aspectual, porque aquella realidad tiene una "estructura" propia translógica.[75]
2.2 Interpretación objetivista ideal 'versus' interpretación realista de la matemática.
En la filosofía de la matemática de Zubiri hay dos etapas: la primera objetivista-ideal y la segunda realista. Esta evolución filosófica es paralela al desarrollo de la matemática.
En su tesis doctoral (1921),[76] Zubiri adopta la postura objetivista ideal de la matemática.[77]
Las ciencias ideales son perfectamente autónomas; no implican la existencia de su objeto como su esencia específica. Por esto todas estas ciencias son absolutamente ciertas con evidencia apodíctica y se construyen con arreglo al método a priori. Tal es el caso de las Matemáticas, de la lógica, de la Filosofía de los valores, etc.[78]
El Teorema de Incompletitud (1931) conmociona esta concepción, y a partir de su interpretación, Zubiri elabora una filosofía realista de la matemática. En clara oposición a su concepción anterior, dice Zubiri en Inteligencia y razón
Es usual llamar al objeto de la matemática 'objeto ideal'. Pero no hay objetos ideales; los objetos de la matemática son 'objetos reales'.[79]
Los objetos de la matemática son tan reales como las cosas "físicas". La formalidad de realidad, por ejemplo, de "un espacio" es idéntica a la de "esta hoja"; sólo difieren en su contenido y modo de realidad, en el primer caso postulado y en el segundo dado inmediatamente. El ámbito trascendental de la realidad aprehendida posibilita la postulación de un contenido "según conceptos". Por tanto, el objeto matemático es realidad postulada.
La realidad de los objetos matemáticos es el "más", ese mismo "más" de toda cosa real en y por sí misma y precisamente por ser un "más" es por lo que se presta a tener un libre contenido por postulación.[80]
Y respecto al método matemático, Zubiri abandona su anterior identificación con la deducción lógica.
No basta con deducciones rigurosas sino que es menester "hacer" la deducción operando, transformando, construyendo, etc. "en la realidad matemática". Sólo esto es método matemático; no lo es la deducción lógica. Por tanto la deducción por sí misma no es método sino estructura lógica, y además no es método de lo matemático.[81]
Y respecto de la verdad matemática, abandona su "apriorismo", para acentuar su dependencia de la realidad dada "en y por postulados".
Las verdades matemáticas son ciertamente necesarias, pero su necesidad pende de postulados, por tanto de realidad dada en y por postulados. En última instancia, las verdades matemáticas están ancladas en algo dado. Y por esto, podrían ser perfectamente de otra manera. Los postulados están, en efecto, libremente elegidos. Me bastaría con cambiar los postulados y
la verdad matemática sería otra.[82]
En la Tabla 2 contraponemos esquemáticamente las concepciones de la matemática pre-gödeliana (objetivista-ideal) y post-gödeliana (realista) de Zubiri.
Concepción objetivista de la matemática antes de Gödel
Concepción realista de la matemática despues de Gödel
Objetos ideales.[83]
Objetos reales.[84] Existencia ideal Existencia real postulada.[85] Método: razonamiento deductivo Modo de experiencia[86]: com-probación[87] física de realidad. Es vía en la verdad Es vía en la realidad postulada Es enunciación lógica de nuevas proposiciones Es actualización de lo real matemático que respeta la estructura lógica del matemático y descubre nuevas direcciones de marcha intelectiva en la realidad Son verdades de razón a priori. Se identifican con demostrabilidad. Se fundan en contenidos objetivos de los conceptos No son verdad de razón[88], sino verdad de realidad cósmica del campo de la realidad La historia es acumulación de verdades apodícticas obtenidas demostrativamente Es tanteo progresivo de la verificación: marcha hacia una verificación en lontananza Adecuación y completitud Parcial inadecuación e incompletitud Tabla 2. Concepciones objectivista y realista de la matemática
3. Valoración crítica: respectividad de lo real y regreso infinito.
Lakatos, como hemos visto, considera que el teorema de Gödel significa que el regreso al infinito en matemáticas (como en el resto de las ciencias) no puede detenerse -de ahí que no haya fundamentos infalibles de la matemática. Ahora bien, ¿a qué se debe? Dado que ésta es la piedra de toque para decidir el problema del conocimiento, requiere un tratamiento mayor que el de Lakatos. En Zubiri no aparece explícitamente esta cuestión, pero hay elementos que permiten su análisis.
Podríamos aventurar que Zubiri formula en metafísica un teorema equivalente al de Incompletitud de Gödel en la matemática; lo denominamos Principio de extensidad de lo real.[90] Puede formularse del siguiente modo: Ningún sistema de notas del contenido de una cosa real agota su realidad, sino que ésta, por su apertura respectiva a todo lo real, es "más" que su contenido específico. A la unidad de la respectividad de la realidad en cuanto tal la denomina Zubiri "mundo". Pues bien, la respectividad de la realidad es la clave de la remisión infinita de la realidad actualizada. Cada nota remite a otra y "jamás sabremos la amplitud de esta remisión".[91]
La remisión, en efecto, se funda ante todo en la respectividad constitutiva de lo real en cuanto real, esto es, se funda en que lo real es constitutivamente mundanal.[92]
La regresión infinita del conocimiento no se debe a la mera limitación de nuestro entendimiento, sino que se funda en la respectividad o remisión infinita de la realidad actualizada. En efecto, la apertura absoluta de la formalidad de realidad origina la inadecuación del conocimiento.
Zubiri, como Lakatos, no tienen por objeto del conocimiento matemático la trivialidad, sino la profundidad. Ahora bien, no es lo mismo profundidad y ultimidad, pues mientras que la primera es posible, la segunda no. El conocimiento matemático, frente a todo dogmatismo, resulta siempre un problema abierto.
La profundidad tiene grados; y esta gradación va hasta el infinito. La profundidad tiene hondura insondable. Conocer algo en profundidad no es conocerlo ya en su realidad última. Más aún, la intelección en profundidad es un hecho; pero el acceso a la ultimidad es constitutivamente un problema siempre abierto hasta el infinito.[93].
La provisionalidad del conocimiento, dice Zubiri, es parcial inadecuación. La adecuación es un límite en el infinito. Un conocimiento sería adecuado si tuviéramos presente la totalidad de la realidad, lo cual es imposible por su carácter respectivo. La verdad matemática es aproximación aspectual a la realidad postulada. La inteligencia sentiente se mueve siempre en realidad respectiva a través de tanteos. La inagotabilidad de la matemática es, pues, un capítulo de la del conocimiento en general, debido a la inagotabilidad de la realidad dada en impresión sentiente.
La realidad es abierta en cuanto realidad, porque su apertura no es sino su constitutiva respectividad. La tarea de la razón es indefinida no sólo en el sentido de que jamás agotará lo que en concreto se propone inteligir, sino que es indefinida ante todo y sobre todo porque lo inteligido mismo, a saber, lo real en cuanto real, es formal y constitutivamente abierto, y por tanto jamás clausurado. En este ámbito abierto, en este mundo, es en el que acontece la búsqueda intelectiva de la razón: es búsqueda en la realidad.[94]
Lakatos y Zubiri ofrecen un nuevo modelo de razón, irreductible a cualquier mecanismo electrónico, que va tanteando la realidad profunda entre los dos umbrales cognitivos: dogmatismo y escepticismo. El regreso al infinito, implicado por el Teorema de Gödel, los aleja del dogmatismo matemático, y en general. Pero ¿del escepticismo?
Si aceptamos que falible significa conocimiento "penúltimo", y crítica acicate de mayor profundidad en la construcción del contenido, es posible compatibilizar el falibilismo y el rechazo del escepticismo; pero si falible es duda permanente, ¿cómo es posible evitar el escepticismo? Sin nada dado de modo inmediato a la razón para apoyarse en la marcha o aventura cognoscitiva, ¿cómo construir el contenido sin que sea una quimera? ¿No sería tan imposible como el volar en el vacío?, ¿Se podría pensar sin un principio que activara a la inteligencia, es decir, sin estar ya en el ámbito de la realidad y en el ámbito de la verdad? La falibilidad del conocimiento si nos atenemos exclusivamente al contenido de realidad nos conduce a un escepticismo. ¿No es el falibilismo lakatosiano un falibilismo concipiente?
Zubiri creemos que fundamenta, desde la inteligencia sentiente, el falibilismo lakatosiano para salvarlo del escepticismo; y lo hace sin aproximarse ni remotamente al dogmatismo, pues la razón es búsqueda incesante. En efecto, la firmeza de la marcha intelectiva está dada por el carácter sentiente de la razón. La formalidad de realidad es un dato dado sentientemente, que lanza hacia lo real en "la" realidad, y en ello radica toda la provisionalidad del conocimiento.
El fundamento de la matemática, según Zubiri, no es un principio lógico inmutable ni evidencias últimas, sino la formalidad física de realidad dada en inteligencia sentiente.
Extensión filosófica del Teorema de Gödel
1. Revolución gödeliana en la "noología" zubiriana
La revolución gödeliana en la matemática consiste, negativamente, en mostrar que la logificación de la matemática (la lógica funda la matemática) y la idealización de su objeto (el objeto de la matemática es un tipo de ser ideal) han sido los dos errores fundamentales de la tradición formalista y logicista de la matemática. Y, positivamente, apoya la impresión de algo dado, y no creado, en la matemática, y la realidad de su objeto
Zubiri ha "experienciado" este giro del objetivismo-ideal al realismo en la filosofía de la matemática y en general. Interpreta la tradición filosófica europea con la misma clave del campo matemático. Según él, los dos errores fundamentales de la tradición filosófica europea (desde los griegos) son: la logificación de la intelección (el logos funda la inteligencia) y, respectivamente, la entificación de la realidad (el ser funda la realidad). Su filosofía lleva a cabo una inversión en el orden de la fundamentación respecto de la tradición. El logos no funda la inteligencia, ni el ser la realidad sino que, por el contrario, la inteligencia funda el logos y la realidad el ser. Ésta es la revolución zubiriana, que consideramos extensión filosófica de la gödeliana:
No se puede entificar la realidad, sino que por el contrario hay que reificar el ser... No se puede logificar la intelección, sino justamente al revés: hay que inteligizar el logos.[95]
La revolución gödeliana de la filosofía de Zubiri se opone a la revolución copernicana de la filosofía de Kant: El principio último del conocimiento no es el sujeto, sino la realidad. He aquí la diferencia entre el idealismo kantiano y el realismo zubiriano.
El sorprendente isomorfismo entre los resultados de la intelección matemática y los de Zubiri sobre la intelección en general lleva a pensar que éste se dirige, con gran acierto, a la matemática gödeliana para que le sugiera una visión más profunda de la inteligencia, el "problema mismo de la filosofía".[96]
2. Hacia una racionalidad no-algorítmica
Gödel, en 1964, a la luz de la aportación de A.M Turing de las funciones computables (1936), precisa su noción de sistema formal y la identifica con un conjunto recursivamente enumerable o generado por una máquina de Turing. Considera la esencia de un sistema formal la operación mecánica, con filas de signos y fórmulas deducibles.
La obra de Turing proporciona un análisis del concepto de 'procedimiento mecánico' ('algoritmo', 'procedimiento computacional' o 'procedimiento combinatorio finito'). Se ha probado que este concepto es equivalente al de 'Máquina de Turing.[97].
Pues bien, su célebre descubrimiento muestra que todos estos términos equivalentes -sistema formal, algoritmo, computabilidad, procedimiento combinatorio finito, máquina de Turing (y puede añadirse la inteligencia concipiente)- no son adecuados a la matemática, ni a cualquier otro tipo de conocimiento. Su repercusión es honda en el modelo de racionalidad: El ideal matemático de Leibniz de un conocimiento lógico-deductivo infalible ha fracasado. La razón humana se despierta con la modestia de un conocimiento falible, pero también con el entusiasmo aventurero de explorar nuevos y más profundos aspectos de la realidad, sin esperar, dada su inagotabilidad, alcanzar la ultimidad de la misma. Pensar es bucear en la realidad misma de lo real -tarea imposible para una Máquina de Turing. Como dice Zubiri, realidad e inteligencia son congéneres; la inteligencia, y sólo ella, siente la realidad:
...lo ejecutado, sea por el animal, sea por el mecanismo electrónico, no es inteligencia, porque todo ello concierne tan sólo al contenido de la impresión, pero no a su formalidad de realidad. Son impresiones de contenido, pero sin formalidad de realidad. Por eso es por lo que no son inteligencia.[98]
Conclusión
La matemática es, según la concepción del Positivismo Lógico, una "máquina de tautologías", esto es, de verdades a priori, infalibles y vacías de contenido empírico. Se reduce a una técnica de fórmulas y proposiciones, que bien puede desarrollar cualquier Máquina de Turing. El Teorema de Gödel contribuye de modo importante a
que recobre su luz, espíritu y auténtica vida intelectual. La matemática es para la nueva filosofía de la matemática una ciencia libre y creativa y, a la vez real y empírica; y, como tal, ningún mecanismo electrónico puede originarla, sino sólo la razón humana -que, según Zubiri, es sentiente-. La falibilidad y la aproximación aspectual a la realidad postulada, como caracteres de la verdad, son fermento de una continua vida intelectual: la matemática es tarea inacabable.
El teorema de Gödel supone para Gödel, Lakatos y Zubiri -y es un común denominador en los filósofos de nuestro tiempo- la inviabilidad de la logificación de la matemática; sin embargo, los primeros afirman el empirismo de la matemática desde la inteligencia concipiente, o logificación de la inteligencia, mientras que Zubiri lo hace desde la inteligencia sentiente, o "empirificación" de la inteligencia. De este modo, el realismo constructivo de Zubiri -"a una" realidad y construcción- sugerido en gran parte por el teorema de incompletitud de Gödel, permite fundamentar la matemática y el conocimiento en general frente al escepticismo, pero no dogmáticamente, sino dando razón del regreso infinito por la respectividad inagotable de lo real. Este es su valor histórico.
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NOTAS
[1] Siguiendo la opción de Ferrater Mora en su Diccionario filosófico, usamos los términos de "completitud" e "incompletitud" para referirnos a la propiedad lógica de los sistemas formales.^
[2] Gödel, de descendientes germano-austríacos, nace en 1906 en Brünn (Brno), Moravia. En 1929 renuncia a la ciudadanía checa y adquiere la austríaca, posteriormente, en 1949, la americana. Desde 1940 hasta su fallecimiento en 1978, vivió en Princeton, New Jersey, donde trabajó en el Instituto de Estudios Avanzados. ^
[3] Mención que le hace la Universidad de Harvard en 1952, con motivo de su investidura como doctor honorario en ciencias.^
[4] En este trabajo nos vamos a limitar al Teorema de incompletitud (1931); otras aportaciones valiosas de Gödel en lógica matemática son: la completitud de la lógica elemental (1929), la inclusión de la aritmética formal clásica en la aritmética intuicionista (1932) y la consistencia del axioma de elección y de la hipótesis generalizada del continuo (1938).^
[5] Nagel y Newman, El teorema de Gödel, Madrid, Tecnos, l979, p. 21.^
[6] Hilbert se propuso la completa formalización de un sistema deductivo para obtener una prueba de consistencia absoluta de un sistema y de este modo no tener que recurrir a la consistencia de otro sistema distinto. Para lograr esta formalización, los conceptos se sustituyen por signos gráficos, las proposiciones por sucesiones de signos y el razonamiento o comprobación de teoremas se lleva a cabo por la deducción formal conforme a reglas mecánicas que los relacionan.^
[7] Un sistema formal es consistente si no puede deducirse en él una proposición y su contraria, A y no-A. De resultar inconsistente, se derivaría cualquier cosa y, por tanto, sería inútil.^
[8] Un sistema formal es completo si cada sentencia expresable en su lenguaje formal es decidible a partir de sus axiomas y la aplicación de las reglas lógicas, esto es, se puede llegar a concluir una sentencia A o su contraria no-A.^
[9] Escrito por Gödel en 1930 y enviado a la revista Monatshefte für Mathematik und Physik, que lo publicó en 1931 en su número 38, págs. 173-198. El artículo "Algunos resultados metamatemáticos sobre completud y consistencia" (1930), es un resumen-anticipo de sus descubrimientos de la incompletitud de los sistemas formales que comprendan la aritmética y la imposibilidad de probar en ellos su propia consistencia. Apareció en el Anzeiger der Akademie der Wissenschaften in Wien, mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse, 67 (1930), págs. 214-215. Gödel anuncia que las pruebas de estos teoremas aparecerán en Monatsshefte für Mathematik und Physik.^
[10] Es aplicable al sistema de Principia Mathematica y a la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (y su complementación por parte de J. von Neumann).^
[11] Hilbert distingue entre teoría formal o matemática formal, que es un sistema formal o formalismo resultante de la formalización de una teoría, y, por otra parte, metamatemática o teoría de la demostración, que es el estudio matemático de los sistemas formales, su definición y propiedades. La metamatemática tiene carácter intuitivo a diferencia del carácter formal de los sistemas formales matemáticos. Los formalistas consideran como métodos de la metamatemática únicamente los finitistas que emplean exclusivamente objetos intuitivamente concebibles y procesos efectuables.^
[12] Su planteamiento es análogo, según Gödel, a la antinomia de Jules Richard (1905) y a la paradoja del Epiménides (mentiroso), pero evitando cuidadosamente la paradoja.^
[13] S. C. Kleene denomina al primer teorema, que implica al segundo como su corolario, "Teorema de Gödel". Cf. Introducción a la metamatemática, pág. 191.^
[14] Gödel hace uso en su demostración de funciones recursivas primitivas definidas con tal claridad que se toman como definición estándar.^
[16] W. y M. Kneale, El desarrollo de la lógica. pág. 673. La cita interna es de Russell, o.c. Londres, 1919, pp.194-5.^
[17] Véase Ladrière: Las limitaciones internas de los formalismos, Nagel y Newman: El Teorema de Gödel.^
[18] M.Kline, El pensamiento matemático, III. pág. 1596.^
[19] Quine, W. V.: "Los fundamentos de la matemática", 1964, en Matemáticas en el mundo moderno, de M. Kline, pág. 223.^
[21] H. Wang distingue dos etapas en Gödel: primera, de 1929 a 1943, de investigación y valiosas contribuciones en el campo de la lógica matemática y segunda, de 1943 a 1978, de dedicación y gran interés por la filosofía de la matemática (cfr. p. 47). Congenia con Platón, Leibniz y Husserl (pág. 122).^
[22] Carta que Gödel dirige a Mr. Grandjean en 1975, pero que no envió, H. Wang, pág. 57. Hao Wang dice (pág. 61) que las consecuencias filosóficas de sus resultados se consideran ampliamente en sus dos ensayos escritos en la década de los 50, pero no publicados: La Gibbs Lecture y el ensayo sobre Carnap. (Poco después de esta ponencia se han publicado). Hacemos un análisis de ellos en un libro sobre las Implicaciones filosóficas del Teorema de Gödel).^
[23] Incluye a R. Carnap, Hans Hahn, Otto Neurath, Moritz Schlick, F. Waismann, H. Feilg, V. Kraft, K. Menger y otros.^
[24] Desde 1926 hasta probablemente 1933, participa en los seminarios del Círculo de Moritz Schlick -lo que será más tarde el Círculo de Viena-.^
[25] Tal como se entiende este término "positivista" en el manifiesto de 1929. Gödel está en desacuerdo, por ejemplo, con la tesis positivista de que los problemas metafísicos carecen de interés; y considera este rechazo de la filosofía como un prejuicio de la época. ^
[26] El Positivismo Lógico incluye, además del Círculo de Viena -anteriormente, en 1928, Asociación Ernest Mach-, a la Sociedad de filosofía empírica de Berlín -Hans Reichenbach, Kurt Lewin, C.G. Hempel, Richard von Mises-, al grupo de Praga -fundado por Carnap y Philipp Frank-. Después de la diáspora en 1938, con la anexión de Austria a Alemania, se unieron al espíritu vienés: en E.E.U.U, Quine, Nagel, Church; en Inglaterra, Ayer, Braithwaite, Wisdom, Ramsey; en Europa nórdica, von Wriht; en Francia, Rougier; en Polonia, Lukasiewicz, Addukiewicz, Tarski.^
[27] El Positivismo Lógico tiene como precursor fundamental a Russell; en concreto, su obra conjunta con Whitehead, Principia Mathematica (1910-1913), va a tener gran significado en este Círculo. Son precursores también el Wittgenstein del Tractatus Lógico-Philosophicus; los lógicos: Leibniz, Peano, Frege; y los axiomatistas: Pasch, Peano, Hilbert. ^
[28] Así, por ejemplo, cuando P. Cohen (1963) completa sus resultados sobre la Hipótesis del Continuo de Cantor, viniendo a ser indecidible respecto a los axiomas de teoría de conjuntos, ello no le lleva a un nominalismo o convencionalismo, sino que está convencido de que tiene que ser verdadero o falso, y que habrá que seguir completando los axiomas para llegar a resolver esta cuestión en el futuro.^
[29] Gödel, Suplemento a la segunda edición de "¿Qué es el problema del continuo de Cantor?" (1963), Obras Completas, pág. 427. (El subrayado es nuestro).^
[32] Cf. Lakatos, "Regresión infinita y fundamentos de la matemática", (ponencia dada en el simposio sobre fundamentos de matemática, celebrado en la Aristotelian Society -Mind Assocciation Joint Session at the University of Leicester, Julio 1962). Está recogida en Matemáticas, ciencia y epistemología , (pp. 15-41), pág. 16^
[34] Leibniz sostiene el carácter necesario de las verdades de razón, es decir, "su validez para todos los mundos posibles" y el carácter "infalible" de los "argumentos formales" (que con la aportación de Gödel y Turing se han precisado como procedimientos mecánicos o algorítmicos). Considera que el silogismo aristotélico "garantiza la infalibilidad". Este ideal tiene entusiastas seguidores, en primer lugar Frege. En efecto, la Begriffsschrift fregeana (1879) es el intento de realizarlo sustituyendo la intuición (que puede ser errónea) por un procedimiento lógico, sin posibilidad de "huecos" en la cadena. ^
[35] Lakatos: Matemáticas, ciencia y epistemología, pp. 23-4.^
[38] Lakatos amplía el término empirista a toda teoría que tenga el valor de verdad "inyectado en la base" sea ésta espacio-temporal, aritmética o de cualquier otro tipo.^
[39] Lakatos, Matemática, ciencia y epistemología, p.17.^
[40] Manifiesto en su afirmación de 1901: "la matemática constituye una reprobación continua de tal escepticismo; pues su edificio de verdades se mantiene firme e inexpugnable contra todos los proyectiles de la duda cínica". (Russell, 1901 b, pág. 71, cita de Lakatos, o.c. 29)^
[41] Russell,1959, pág. 212, cita de Lakatos, o.c. pág. 34.^
[48] Lakatos, "¿Existe un renacimiento del empirismo en la reciente filosofía de la matemática?" (1967) en Matemáticas, ciencia y epistemología, cap. 2:. págs. 42-66.^
[49] Dentro del "nuevo campo falibilista", Lakatos incluye a Russell, que en 1924 dice que la lógica y matemática es aceptada, igual que la electrodinámica de Maxwell, por sus consecuencias observadas; a Church, que en 1939 sostiene la imposibilidad de tener fiabilidad de la consistencia del sistema formal de Russell o Zermelo; a Gödel, que en 1944 dice que la crítica de fundamentos lleva al abandono de su certeza absoluta; a Carnap, que en 1958 encuentra una cierta semejanza entre la física y la matemática en cuanto a su falta de certeza absoluta; a Quine, que en 1958 constata el carácter evaluativo de los datos empíricos también en las matemáticas; a Rosser, que en 1953 se une a Gödel, manifestando nuestra inseguridad de que un sistema formal esté libre de contradicciones; Weyl, que en 1949 propone el parangón de la matemática con la física; Mostowski, que en 1955 toma el teorema de Gödel como corroborador de la caracterización de la matemática como una ciencia natural más, con el mismo método que ésta, la experiencia; Kalmar, que en 1967 afirma que la matemática tiene que ser, como el resto de las ciencias, contrastada en la práctica. ^
[50] Cf. "El método de análisis-síntesis", en Matemáticas, ciencia y epistemología, pág. 130-1^
[53] La inteligencia concipiente o sensible tiene por objeto primario lo sensible; su acto es concebir lo dado por los sentidos a la inteligencia; su forma de concebir es concipiente; es una facultad distinta de los sentidos. ^
[54] La inteligencia sentiente tiene por objeto formal lo dado por los sentidos en la inteligencia; su acto formal es aprehender la realidad: es impresión de realidad; su forma de concebir es sentiente; forma una única facultad con los sentidos; su acto es mera actualización de lo real en su apertura respectiva.^
[56] Una deducción no aumenta el contenido y, por tanto, es puramente analítica y estéril. Lakatos afirma: "el estilo deductivista, esconde la lucha y oculta la aventura". La sofisticación y la falibilidad destruyen "el mito de la deducción infalible". El reto Lakatosiano es mostrar que ésta no es el patrón de la lógica del descubrimiento matemático, del mismo modo como Popper mostró que la inducción no es la lógica del descubrimiento científico (cfr. Pruebas y Refutaciones, pág. 166, nota 40). Reconoce la paternidad popperiana de la metodología empírica, y trata de mostrar, por primera vez, "...hasta qué punto el sistema conceptual popperiano de la lógica del descubrimiento en las ciencias empíricas es aplicable a la lógica del descubrimiento en las ciencias cuasi-empíricas y a la matemática en particular" (Pruebas y refutaciones, pág. 166).^
[60] Cfr. la afirmación del teorema de Gödel en ZUBIRI, X.: IR, pág. 253; IL, pág. 327; y SH, pág. 649. La interpretación zubiriana se origina no en la línea de la afirmación, sino de lo afirmado; no del contenido, sino de la formalidad; en definitiva, no en la línea de inteligencia concipiente, sino de inteligencia sentiente. ^
[61] Desde la inteligencia sentiente es posible distinguir contenido y formalidad de realidad. La formalidad de realidad es el modo de quedar el contenido "de suyo", "en propio", en la intelección. Es independiente del sujeto en la aprehensión. Cada cosa real tiene un momento individual y otro campal en respectividad a las demás cosas entre las que está. Este campo, liberado del contenido, posibilita construir en él un contenido por postulación. Así pues, lo que se crea no es la realidad, sino el contenido de la realidad. ^
[65] Kant hace también la distinción entre posibilidad lógica y posibilidad matemática. Para que se dé el objeto matemático no basta con conceptos puros y su consistencia, sino que es preciso también la intuición.^
[67] Ibid. pág. 68 (subrayado mío)^
[68] Ibid. pág. 68 (subrayado mío)^
[71] Zubiri distingue dos momentos en la verdad dual (o juicio verdadero): la conformidad y la adecuación. Conformidad significa "que aquello que en el juicio se afirma de la cosa real está realizado en ella"; y Adecuación significa que lo afirmado está realizado en la cosa real de forma tal que hay "un recubrimiento total entre la simple aprehensión, cuya realización se da efectivamente en la cosa, y lo que esta cosa es en realidad". De los dos momentos, la conformación se da siempre en la verdad dual, sin embargo, la adecuación no. El origen de la diferencia entre conformidad y adecuación es la de la aprehensión primordial de realidad e intelección en distancia de lo que es en realidad. Son dos momentos distintos de la verdad dual, pero articulados: cada conformidad apunta hacia la adecuación, como índice de un camino; su término es "una remota adecuación en lejanía".^
[72] Aproximación de inexactitud se da en las cosas dadas inmediatamente en la aprehensión primordial de realidad; por ejemplo, en "este papel es blanco" hay conformidad, pero no adecuación; para que ésta se diera habría que precisar es "blanco en tal o cual grado", y así sucesivamente hasta el infinito. (cfr. IL, pág. 120)^
[75] IL, pág. 327-8 (el subrayado es mío).^
[76] Zubiri está influido por la crisis de la matemática de finales del s. XIX y principios del s. XX que aleja a la matemática de la intuición y emprende la vía de su logificación y formalización.^
[77] Establece la demarcación logicista entre matemática y ciencias físicas. La primera queda asimilada a la lógica y a su método. Se opone a las ciencias físicas, que tienen por objeto puros hechos, parten de una evidencia asertórica y se desarrollan por un procedimiento inductivo. De los dos tipos de ciencias, la matemática y las ciencias formales son perfectamente autónomas y, dado que la idealidad es anterior a la existencia, fundan las ciencias físicas.^
[79] IR, pág. 144 (la cursiva es mía)^
[83] En esta primera etapa objetivista, Zubiri considera que la objetividad tiene tres órdenes: el real, el fantástico y el ideal. El orden de la matemática es el ideal que, a diferencia del real, excluye la existencia y, a diferencia del fantástico, excluye la individualidad. Las verdades matemáticas son "término de un acto ideativo" (Cf. TFJ, pág. 31, y pág. 104). En los juicios matemáticos no se juzgan realidades, sino objetividades. ^
[84] En 1935 (tres años después del Teorema de Gödel), Zubiri concede cierta realidad a los objetos matemáticos. No es lo mismo, por ejemplo, la idea de círculo que el círculo mismo. (Cfr. NHD, pág. 74). En 1962, en SE, Zubiri denomina a los entes matemáticos: "cosas objetuales", frente a los conceptos objetivos. En la Trilogía utiliza claramente la noción de "objetos reales". ^
[85] Por lo mismo que los objetos matemáticos no son ideales, tampoco tienen existencia ideal, sino postulada en "la" realidad. La existencia y las notas no conciernen a la formalidad de realidad, sino al contenido de la realidad. Gracias a un postulado se realizan tanto las notas como la existencia del contenido en la formalidad de realidad dada en aprehensión primordial.^
[86] La experiencia, desde inteligencia sentiente, es un logro de profundización; es probación física de la cosa real en profundidad. No se trata de una operación pensada, sino de "hacer" la probación. La realidad prueba si se inserta o no en el campo de realidad el esbozo creado. ^
[87] Las tres fases del método matemático son las siguientes (IR, pp. 253-4):
a). Sistema de referencia del cual partimos para crear el esbozo del "podría ser". La realidad campal es fuente de sugerencia, si bien la matemática se refiere a ella de modo "independiente".
b). Esbozo de un libre sistema de postulados o axiomas del contenido de la realidad profunda.
c). Com-probación, que consiste en la unidad intrínseca de los dos momentos del método matemático: de verdad y aprehensión de realidad. Por ello es probación-con. No se prueba si nuestra afirmación es verdad o no, sino la presencia de la realidad 'con' la verdad deducida; "es la probación de la realidad al hilo del "cum" de la verdad".^[88] La verdad matemática no se identifica con la demostración en el sistema. Zubiri rechaza la distinción entre verdades de hechos y verdades de razón. Sólo hay verdades de realidad, campal o mundanal.^
[89] La verdad matemática es el encuentro y cumplimiento del esbozo del "podría ser" en el campo de la realidad.^
[90] La ex-tensidad es el carácter estructural de la realidad en condición de respectividad. ^
[97] Gödel, Posdata a "Sobre sentencias indecidibles de los sistemas formales matemáticos",Obras completas, pág. 197^