CAPITULO QUINTO

 

CONSTRUCTIVISMO LOGICO-HISTORICO:

LA VERDAD MATEMATICA

 

 

Como ya quedó anunciado en la introducción de esta tesis, el problema de la verdad matemática nos sitúa en la "médula" misma de la filosofía de la matemática. Esa prefiguración la constituía por un lado la afirmación que el joven Zubiri hiciera en su tesis doctoral: "[La verdad es] centro de gravitación de todo el pensamiento filosófico"[1] ; y por otro lado la afirmación de Brunschvicg:

"En el momento actual la tarea de la filosofía consiste en organizar, alrededor de la ciencia positiva, una noción positiva de la verdad; y esta tarea debe ser retomada por la base, por el estudio de los problemas que conciernen a la ciencia elemental, es decir a la matemática"[2]

Estas palabras de Brunschvicg abren un programa de investigación: definir una noción positiva de verdad alrededor de la ciencia, y una dirección de búsqueda intelectiva: acometer esta tarea desde la ciencia más elemental, es decir la matemática. Zubiri, en el inicio mismo de su investigación filosófica, toma conciencia de este programa y de su dirección precisa, haciéndolo suyo de tal modo que su obra de madurez, la Trilogía sobre la intelección, viene a ser una respuesta acabada a dicho problema. En efecto, ahí nos ofrece el autor una profunda reflexión sobre el problema de la verdad en la matemática, en la ciencia, en el conocimiento racional y en la intelección. Con esta concatenación de ámbitos, (en la que cada uno se subsume en el siguiente), queremos indicar que la reflexión de Zubiri pudo empezar por la ciencia más elemental: la matemática. Sin duda, ella está en la base de todas sus consideraciones "noológicas". Si vamos a ver cómo define el autor cuestiones claves que giran en torno al problema de la verdad —como son: certeza, rigor, exactitud, evidencia, adecuación, necesidad y universalidad, etc.—, nos encontramos con referencias explícitas a la verdad matemática. Tal es así, que podemos decir que si bien el orden de exposición de la Trilogía de la intelección es desde la intelección a su concreción en la ciencia y en la matemática, el orden de investigación originaria sería el inverso. Esta es nuestra aportación: el problema de la verdad matemática juega un papel crucial en la génesis de la noología zubiriana.

En el problema de la verdad convergen las concepciones del conocimiento matemático y de la naturaleza del objeto. Por consiguiente de la solución a este problema crucial de la epistemología matemática, —perfectamente articulado dentro de una epistemología general y de la "noología"—pende, en gran parte, la valoración que nos merezca la original aportación zubiriana a la filosofía de la matemática: el constructivismo sentiente y transcendental (según atendamos al aspecto epistemológico u ontológico, ambos son congéneres). También anticipamos en nuestra introducción general la importancia que tiene la solución del problema de la verdad matemática en la valoración de la filosofía de la matemática de un autor, lo hacíamos con las palabras de Brunschvicg:

"...si se pide a la inteligencia de la matemática definir un nuevo tipo de conexión entre la deducción racional y el contenido de la experiencia, es decir, un nuevo tipo de verdad, hallamos en la Crítica una filosofía de la matemática que señala una fecha decisiva en la historia del pensamiento humano" [3]

Ahora bien, el planteamiento que hace Brunschvicg, dada la complejidad actual del problema de la verdad matemática, no es suficiente. No basta con definir un nuevo tipo de conexión entre deducción racional y contenido de la experiencia, para que tengamos una nueva concepción de la verdad matemática. Actualmente constituyen un profundo debate las cuestiones sobre la verdad matemática: ¿creación o descubrimiento?, ¿lógica o histórica? Vemos, pues, que es preciso además definir el tipo de conexión entre descubrimiento y creación, entre lógica e historia. De este modo completamos la tesis de Brunschvicg con la nuestra propia (que defenderemos a lo largo de este capítulo): si se pide a la inteligencia matemática definir un nuevo tipo de verdad, esto es, un nuevo tipo de conexión entre deducción racional y contenido de experiencia, entre creación y descubrimiento, entre lógica e historia, hallamos en la Trilogía sobre la intelección una filosofía de la matemática que marca un hito en la historia del pensamiento humano, de fecundidad mayor que la filosofía de la matemática de la Crítica de Kant.

En la época de Kant, la historia no constituye una cuestión capital, y esto lo acusará el autor en su modo "ahistórico" de plantear el problema de la verdad matemática. Como las coordenadas que se le ofrecen en discrepancia son razón (del racionalismo) y experiencia (del empirismo), se debate con ellas hasta alumbrar una conexión entre ambas. De ahí la novedad de su concepción de la matemática, no es meramente conceptual o lógica sino también intuitiva. No nos cabe duda de que si Kant hubiera sido de nuestro tiempo se habría debatido con las nociones de lógica y de historia, y lo mismo entre descubrimiento y creación, hasta establecer un nuevo tipo de conexión entre ellas. Esto le ocurre a Zubiri, su horizonte intelectual (las geometrías no-euclídeas, el Teorema de Gödel, etc.) le fuerza inexorablemente a concebir un nuevo tipo de unidad entre lógica e historia, y entre descubrimiento y creación, que lleva, a su vez, a redefinir con nueva luz la relación entre razón y experiencia.

Zubiri penetra hondamente en este problema y no le satisface ninguna solución disyuntiva. No comparte la opinión de los autores que defienden la matemática como libre creación y producto histórico, pero que niegan su carácter de descubrimiento, de certeza y verdad, y dejan paso a la falibilidad desfundamentadora del conocimiento matemático. Igualmente rechaza la postura de los autores que defienden la matemática como un descubrimiento, atribuyéndole un carácter lógico y de verdad eterna, mas a costa de privarle del carácter histórico y de libre construcción. Podríamos pensar, pues, que el autor aporta una solución conjuntiva[4] o sintética, lo cual no supondría ninguna novedad en el panorama actual de la filosofía de la matemática, y en tal caso ¿en qué estriba su aportación, que hemos señalado como un hito? La solución del constructivismo sentiente y transcendental, como se verá, hay que precisarla en la dirección en la que se establece esta unidad y el carácter esencial de la misma. El tema no puede ser de mayor interés dentro del panorama de la actual filosofía de la matemática.

En la últimas décadas se ha escrito mucho sobre la verdad matemática. Y sin embargo, a nuestro entender, la luz sobre este tema no es mucha. Pensamos que sólo una nueva concepción de inteligencia, de realidad, y, a partir de ellas, de lógica y de historia, de creación y de descubrimiento, permitirá alumbrar una nueva noción de verdad matemática. Su luz se expandirá asimismo a las nociones de certeza, rigor, exactitud y evidencia, vinculadas a la noción de verdad. A estas rivalidades se les viene denominando "nudos" epistemológicos por su aparente dificultad insoluble. Y puede ser que así sea desde una filosofía de la matemática concipiente, sin embargo, nos preguntamos: ¿desde el constructivismo sentiente y transcendental, no serán estos "nudos", más que dificultades insolubles, unidades indisolubles? Este carácter unitario de lógica e historia, y de creación y descubrimiento, nos lleva en este capítulo de la verdad matemática a denominar el nuevo constructivismo matemático de Zubiri: Constructivismo lógico-histórico. Esta es la tercera determinación que completa las anteriores: sentiente y transcendental. Así pues, al concluir este capítulo tendremos trazado completamente el nuevo constructivismo matemático. Sus tres caracteres sentiente (intelección), transcendental (objeto) y lógico-históricoc(verdad), están intrínsecamente unidos. De ahí que el presente capítulo se entienda desde los dos anteriores.

La aportación zubiriana, en este punto, es sumamente actual y, a la vez, clásica, en cuanto que arroja una nueva luz en una dirección que nos permite "experienciar" sus resultados de un modo enriquecedor. De ahí nuestro interés en la concepción zubiriana de la verdad matemática.

 

 

1 Teorema de Gödel y la verdad matemática

 

El Teorema de Gödel abre una nueva crisis del fundamento matemático que pone en grave peligro la noción de verdad matemática. Esta conmoción de la verdad matemática, cimiento de todo el saber matemático, pone a matemáticos y filósofos de la matemática en la encrucijada de decidir si es posible el conocimiento matemático o hay que sustituir esta pretensión por la continua conjetura. El Teorema de Gödel arroja un resultado unánime: La verdad matemática no es pura consistencia formal o deducibilidad que lleva a dotarla de un carácter apodíctico, de absoluta certeza, a priori. Los resultados matemáticos se presentan a la luz de dicho Teorema como falibles, provisionales y aproximados, como lo son los resultados de las ciencias naturales. Así pues, el dogmatismo matemático defendido anteriormente es inviable, esto es, la infalibilidad matemática es un sueño de la razón, no hay un conocimiento adecuado en la matemática. Ahora bien, ¿cómo evitar el escepticismo matemático? Esta es la cuestión.

En este punto nos interesa contrastar la postura de Zubiri con la del matemático y filósofo de la matemática Lakatos. En ambos el Teorema de Gödel juega un papel crucial, les conduce, en cierto modo, a emprender direcciones de pensamiento que, si bien coinciden en su punto de arranque, divergen a lo largo de su desarrollo. En Lakatos supone la sustitución de la certeza absoluta o infalibilidad de la matemática por la falibilidad, y el abandono de la tarea de la fundamentación de la matemática. En Zubiri significa el giro desde su primera concepción de la verdad deductiva, "a priori", apodíctica, infalible de la matemática, a la adopción de la verdad empírica, dependiente de la realidad, y aproximada o parcialmente inadecuada de la matemática; esto conlleva la limitación del conocimiento matemático, pero no, como pretende Lakatos, su imposibilidad.

Una vez expuesta la significación del Teorema de Gödel en Lakatos y en Zubiri, confrontaremos las dos alternativas a la Teoría de la Verdad como Coherencia formal: falibilidad y conjetura continua, o aproximación aspectual a la realidad matemática y conocimiento matemático. Lakatos presenta el primer disyunto y Zubiri el segundo. Esto no es del todo exacto, porque, en cierto modo, veremos que la postura de Zubiri asume la falibilidad y la conjetura continua en su concepción de la verdad matemática como parcial inadecuación, pero desde un nuevo fundamento: la realidad transcendental. Ello le impedirá caer en el escepticismo, que en el caso de Lakatos nos parece inevitable.

Exponemos en primer lugar la interpretación del Teorema de Gödel que hace Lakatos desde el falibilismo crítico de la matemática, y seguidamente la interpretación zubiriana del mismo desde el constructivismo sentiente y transcendental. Al finalizar señalaremos una valoración crítica. Atenderemos también, a continuación, la exigencia gödeliana de conceder a la verdad matemática el mismo estatuto que el que poseen las verdades de las ciencias de la naturaleza, a saber, verdades de realidad y verdades empíricas. A pesar de las convergencias de Lakatos y de Zubiri en este punto, sin embargo sus divergencias también serán objeto de una valoración crítica. Porque, ¿entienden lo mismo ambos autores cuando dicen que las verdades matemáticas no son deductivas sino empíricas ?

 

 

1.1 Teorema de Gödel y Lakatos: principio de Conservación de la Falibilidad.

 

Lakatos encuadra el problema de los fundamentos del conocimiento matemático de finales del s. XIX y principios del s. XX en el problema del fundamento del conocimiento en general[5] ; por consiguiente, es a la luz de éste desde donde debe examinarse. Las dos posturas dadas al problema del conocimiento son: 1. El dogmatismo que defiende que es posible el conocimiento y cuya tarea consiste en encontrar un fundamento "infalible" sobre el cual se construya con certeza todas las verdades, y 2. El escepticismo que considera imposible el conocimiento porque no puede evitarse el regreso al infinito. De estas dos posturas, el escepticismo es la que ha ido ganando terreno en las ciencias empíricas, sin embargo, no ha podido penetrar en el área de la matemática, que permanece como baluarte del dogmatismo. Después de cualquier crisis de fundamentos surgen nuevas "escuelas" que restauran la certeza matemática. Las filosofías logicista y formalista de las matemáticas, nos dice Lakatos, constituyen los últimos eslabones "de la larga cadena de filosofías dogmáticas de las matemáticas". (este es el caso de la filosofía objetivista-ideal de la matemática del joven Zubiri, de ahí que le afecte plenamente la crítica de Lakatos a este tipo formalista de filosofía de la matemática). Este es el reto lakatosiano: poner fin al refugio matemático del dogmatismo.

"...Las matemáticas han constituido la orgullosa fortaleza del dogmatismo. Siempre que el dogmatismo matemático de la época entraba en ‘crisis’, una nueva versión suministraba de nuevo genuino rigor y fundamentos últimos, restaurando con ello la imagen autoritaria, infalible e irrefutable de las matemáticas, ...La mayoría de los escépticos se rindieron ante el carácter inexpugnable de este reducto de epistemología dogmática. Ya es hora de lanzarle un reto"[6]

El Teorema de Gödel es precisamente la lanza de Lakatos contra el dogmatismo matemático (como lo será en Zubiri para batirse consigo mismo). Dicho Teorema significa el fracaso del ideal leibniziano de infalibilidad [7] de la matemática, continuado en la doble dirección: logicista (Frege y Russell), y formalista (Hilbert). Pero ¿necesariamente tenemos que adoptar una postura escéptica que se detiene en la duda permanente? Lakatos trata de evitarlo desde una postura mucho más modesta que la certeza: la falibilidad. Esta postura es la aplicación a la matemática de la concepción que Popper defiende en la ciencia. Nos dice:

"El falibilismo crítico de Popper toma en serio el regreso infinito en las pruebas y definiciones, no se hace ilusiones acerca de su "detención", acepta la crítica escéptica de toda inyección de verdad infalible. En su planteamiento no hay fundamentos del conocimiento, ni en la cúspide ni en la base de las teorías, pero puede haber inyecciones de verdad tentativas e inyecciones de significado tentativas en cualquier punto"[8]

Pero, a diferencia de Popper, señala Lakatos:

"Pero albergo sentimientos muy duros contra la teoría lingüística y convencionalista de Popper sobre la matemática y la lógica... Y, en consecuencia, soy falibilista, no sólo en ciencia, sino también en matemáticas y lógica"[9]

Los popperianos (y Lakatos lo es aunque sea con "gafas kuhnianas", como él se autodenomina) contraponen[10] certeza y profundidad. Por tanto, la certeza sólo puede mantenerse al precio de la trivialidad de los contenidos matemáticos. En cambio, la exigencia de profundidad de contenido (sofisticación) nos hace perder pie en la seguridad de la superficie y no tener certeza alguna. Pues bien, el teorema de Gödel significa, según la interpretación que hace Lakatos del mismo, el triunfo en la Matemática de la sofisticación o falibilidad frente a la trivialidad o infalibilidad.

"En realidad, el primer teorema de Gödel constituye un principio de conservación de la sofisticación, o un principio de conservación de la falibilidad" [11]

Aclaramos a continuación a qué programa aplica Lakatos la trivialidad infalible y cómo a partir de los resultados del Teorema de Gödel se propaga la sofisticación y, consecuentemente, la falibilidad matemática. Recordemos que Lakatos, según el nivel en el que se inyecta el valor-de-verdad y el significado de los términos de la teoría, divide a éstas en dos tipos fundamentales: teorías euclídeas y teorías empiristas. Mientras que el Programa Euclídeo pone los fundamentos en el significado y valores-de-verdad de la cúspide, el Programa empirista [12] los pone en la base. De estos dos programas es al Programa Euclídeo al que denomina el Programa de trivialización del conocimiento, en cuanto que las teorías están formadas por axiomas infalibles que constan de términos primitivos perfectamente conocidos, y el tipo de prueba que emplea para demostrar los teoremas garantiza la verdad y la transmite de arriba-abajo.

"Puesto que el Programa Euclídeo implica que todo conocimiento puede deducirse de una conjunción de proposiciones trivialmente verdaderas que constan sólo de términos cargados de significado trivial, lo llamaré el Programa de la Trivialización del Conocimiento" [13] .

Dos tipos de Programas Euclídeos o de Programas de la Trivialización del Conocimiento son: el programa "logicista" y el programa "formalista" de la matemática. Su fin es fundamentar la matemática frente a la crítica escéptica. La pretensión de verdad infalible, de certeza absoluta, la realizan a costa de la trivialización del contenido. Ahora bien, este intento choca con el Teorema de Gödel que pone de manifiesto, según Lakatos, que el regreso al infinito en pruebas y definiciones no puede evitarse. Esto obliga a logicistas y formalistas a admitir la sofisticación y falibilidad del conocimiento.

a) Regreso al infinito y el logicismo de Russell. Lakatos constata el giro dado por Russell desde el dogmatismo, —manifiesto en su afirmación de 1901: "la matemática constituye una reprobación continua de tal escepticismo; pues su edificio de verdades se mantiene firme e inexpugnable contra todos los proyectiles de la duda cínica"[14]—, a su desconcierto posterior que le lleva a abandonar el euclideanismo, y a decir: "la espléndida certeza que yo siempre había esperado encontrar en la matemática se había perdido en un laberinto desconcertante..."[15] . Lakatos señala que Russell no ha sacado todas sus consecuencias del abandono del euclideanismo, a saber,

"El regreso al infinito en las pruebas y definiciones de la matemática no se puede detener con una lógica euclídea. La lógica tal vez explique la matemática, pero no puede probarla. La matemática conduce a una especulación sofisticada que es cualquier cosa menos algo trivialmente verdadero..."[16]

Por consiguiente, según este autor, la pretendida trivialización lógica de las matemáticas degeneró en un sistema sofisticado.

"La teoría lógica de la matemática constituye una especulación estimulante y sofisticada, como cualquiera otra teoría científica. Constituye una teoría empirista, y en consecuencia si no se muestra que es falsa, permanecerá conjetural para siempre"[17]

b) Regreso al infinito y la meta-matemática de Hilbert. Igual que en logicismo, la pretensión de certeza absoluta de la meta-matemática, nos dice Lakatos, choca ante los resultados de Gödel que nos llevan a admitir la sofisticación y la falibilidad de la matemática.

"El segundo teorema de Gödel supuso un golpe decisivo para esta confianza en una meta-matemática euclídea. El regreso al infinito de las pruebas no desaparece en una meta-teoría ‘finitista’ trivial: Las pruebas de consistencia han de poseer la suficiente complejidad como para hacer dubitable la consistencia de la teoría en la que tales pruebas se llevan a cabo, y por tanto están condenadas a ser falibles" [18]

El primer teorema de Gödel es otra manera de mostrar que la meta-matemática no detiene el regreso al infinito en las pruebas. Señala que la formalización que incluye la aritmética "está irreparablemente enferma", porque siempre hallaremos modelos no pretendidos, esencialmente diferentes al pretendido, es decir que en unos se mostrará una fórmula y en otros la contraria, con lo cual siempre habrá verdades aritméticas que son indecidibles en el sistema formal. La verdad y el resultado de una prueba no son equivalentes. Esto supone el final del ‘formalismo’ hilbertiano, que creía haber proporcionado un concepto claro de lo que es una prueba en matemática. Los post-hilbertianos con sus meta-teorías enriquecidas vienen a confirmar la sofisticación y falibilidad.

En conclusión, el Teorema de incompletitud —en manos de Lakatos— es la afirmación del regreso al infinito que implica: falibilidad y sofisticación. ¿En qué punto nos sitúa frente al dogmatismo y al escepticismo? ¿Qué repercusión tiene para la fundamentación de la matemática? Respecto del dogmatismo, es la victoria frente al reto que inicialmente se había planteado Lakatos: acabar con el refugio matemático del dogmatismo, y en concreto de sus dos últimas fortalezas: el logicismo de Russell y el formalismo hilbertiano. Pone fin a la trivialización del conocimiento no sólo en la ciencia, sino también en lógica y matemática. Nunca llegaremos a tener un conocimiento completo ni último de la matemática. Ha costado este triunfo y, sin embargo, ¿no conduce a la derrota escéptica? Responde Lakatos:

"Pero ello no lleva necesariamente al escepticismo matemático: sólo obliga admitir la falibilidad de una especulación audaz"[19]

Su propósito es mostrar que la matemática es conjetural, pero sin que signifique necesariamente abandonar la razón por completo. La matemática no puede seguir sosteniendo su certeza unida a la trivialidad de su contenido, como ha pretendido, por ejemplo, el Positivismo Lógico, sino que tiene que consistir en conjeturas audaces y profundas a costa de su falibilidad.

El regreso al infinito matemático, según el autor, imposibilita la fundamentación de la matemática, (conclusión que no será compartida por Zubiri, como veremos). Lakatos sustituye esta tarea fundamentalista, por el problema del avance del conocimiento. ¿Pero cómo sabemos que avanzamos? Responde: "lo conjeturamos"[20]. La reflexión de Lakatos a partir del Teorema de Gödel nos deja en una situación que despierta los siguientes interrogantes:

"Pero ¿Por qué empeñarse en pruebas ‘últimas’ y autoridades ‘decisivas’? ¿Por qué buscar fundamentos, si se acepta que son subjetivos? ¿Por qué no admitir honestamente la falibilidad matemática, e intentar defender la dignidad del conocimiento falible contra el escepticismo cínico, en lugar de hacernos la ilusión de que podremos reparar, hasta que no se note, el último rasgón del tejido de nuestras intuiciones ‘últimas’? [21]

A la luz de la filosofía de Zubiri, podemos ver que Lakatos tiene una noción "concipiente" de fundamento: pues éste es principio lógico o intuición evidente. Zubiri dará una nueva noción sentiente que permite una salida distinta.

 

 

1.2. Teorema de Gödel y Zubiri

 

1.2.1 Dogmatismo de Zubiri en su filosofía pre-gödeliana de la matemática.

Hasta mediados del S. XIX la matemática se considera como una Correspondencia con el cosmos. La matemática es ciencia de realidad, y la verdad matemática expresión de la esencia del mundo. Y en esta creencia se seguía fielmente la concepción de corte pitagórica-platónica. Sin embargo, la evolución de la matemática, a partir de este momento hasta principios de nuestro siglo, supone la crisis total de la Teoría de la Verdad matemática como Correspondencia con el mundo real. Zubiri menciona en su tesis doctoral, Teoría Fenomenológica del Juicio, algunos de los descubrimientos que llevan al abandono de la Teoría de la Verdad como Correspondencia con el mundo real. La teoría de los conjuntos, que lleva a una concepción del número desde una relación real hasta una especie ideal (clase). La introducción del concepto de infinito actual aleja a la matemática de la experiencia. El descubrimiento de Hamilton de los cuaternios y su definición de los números complejos, abre a la matemática a un plano de creación total. La noción de función se ha distanciado de una imagen de relación empírica. Las geometrías no-euclídeas (del ángulo agudo y del ángulo obtuso) llevan a una ruptura entre espacio geométrico y espacio físico. Estos cambios revolucionarios desde mediados del s XIX en la matemática llevan a la sustitución de la intuición por el método axiomático, y de la noción de verdad a la noción de "validez formal". El criterio de validez matemática es la coherencia interna dentro de un sistema formal y no su correspondencia con la realidad. Hilbert define la verdad matemática como Consistencia. La Teoría de la verdad dominante en la segunda mitad del siglo XIX y principios del s. XX es, pues, la Teoría de la Coherencia o Consistencia de la Verdad, que desplaza a la Teoría de la Correspondencia. Veremos a continuación que esta es la postura adoptada por el joven Zubiri.

Zubiri en su tesis doctoral hemos visto que sostiene una postura objetivista ideal de la matemática. Desde ella propugna una concepción dogmática de la matemática: su conocimiento es absolutamente cierto, sus verdades son apodícticas, y la conservación de este carácter está garantizada por el método a priori. De forma sintética, pero precisa, queda definido este dogmatismo matemático (y de las ciencias que denomina "ideales") en el texto que transcribimos a continuación:

" Las ciencias ideales son perfectamente autónomas; no implican la existencia de su objeto como su esencia específica. Por esto todas estas ciencias son absolutamente ciertas con evidencia apodíctica y se construyen con arreglo al método a priori. Tal es el caso de las Matemáticas, de la lógica, de la Filosofía de los valores, etc"[22].

Zubiri, como diría Lakatos, conserva la Matemática (y las ciencias ideales) como el reducto del dogmatismo. La suerte de las ciencias físicas es muy distinta: parte de evidencias asertóricas y se desarrolla por un procedimiento inductivo. Las leyes físicas son aproximadas y relativas, mientras que, según el joven Zubiri, "una ley matemática tal como el teorema de Pitágoras no admite los predicados citados" [23]

"En efecto: la Matemática se refiere a objetos que no son hechos, al paso que la Física se refiere a puros hechos. Tal es el resultado de nuestra crítica precedente. Ahora bien, un conocimiento que se refiere a objetos ideales tiene origen en una evidencia apodíctica y se desarrolla completamente a priori por rigurosa vía deductiva. La Física, en cambio, adquiere sus primeros juicios por una evidencia puramente asertórica, y se desarrolla por un procedimiento inductivo, ¿Qué quiere decir esto? Esto quiere decir que la ciencia física es puramente aproximada" [24]

Este carácter de certeza absoluta, de evidencia apodíctica, de verdades a priori, de infalibilidad [25], en definitiva dogmático, que el joven Zubiri otorga a la Matemática, es común a las escuelas "logicista" y "formalista" de la matemática. Es la concepción pre-gödeliana dominante. Y Zubiri la hereda de un modo crítico (aunque desde una perspectiva posterior resulte a-crítica) porque, a finales del s. XIX y principios del s. XX, considera que la crítica de las ciencias y en concreto de la Matemática conduce al abandono del método intuitivo y a su sustitución por el método axiomático (Hilbert)[26]. Rechaza totalmente la Teoría de la Verdad de la Correspondencia con la realidad cósmica. Dado que las matemáticas crean arbitrariamente su objeto según libre sistema de postulados[27] ¿cómo se va a corresponder con el cosmos? Así pues, adopta la Teoría de la Verdad de la Coherencia o Consistencia, no sin mezcla de Pragmatismo.

El Teorema de Gödel conmociona esta primera concepción zubiriana de la verdad matemática. El dogmatismo defendido en el área matemática ya no es posible (y por extensión en ninguna otra ciencia que denominaba "ideal"). El criterio de verdad matemática no puede ser estrictamente formal o lógico. Si la consistencia, según el Teorema de Gödel, no puede probarse dentro del propio sistema ¿cómo puede seguir sosteniéndose la Teoría de la Verdad de la Coherencia o Consistencia ? Eso es lo que veremos a continuación.

 

1.2.2 Consistencia formal versus Coherencia real.

Hilbert identifica la verdad matemática con la consistencia de los sistemas formales. Un sistema de axiomas y postulados matemáticos es posible si es consistente o incontradictorio. Lo posible es lo incontradictorio. No tiene su fundamento en la realidad sino que es independiente y anterior a lo real. El primer Zubiri, como hemos señalado, se une a esta concepción. Pero esto es precisamente lo que pone en cuestión el denominado segundo teorema de Gödel. Hay proposiciones matemáticas que son verdaderas y, sin embargo, no pueden demostrarse como teoremas dentro del sistema formal en cuyo lenguaje son formalizadas. Zubiri (siempre atento a los nuevos descubrimientos de la matemática, en un contacto directo con eminentes matemáticos) recoge este resultado y saca todas sus implicaciones filosóficas, exponiéndolas en su obra Sobre la Esencia[28]

"La verdad es que jamás podrá demostrarse positivamente la no contradicción de un verdadero sistema de notas o conceptos objetivos, ni tan siquiera en el dominio de la matemática (teorema de Gödel)"[29]

Estos resultados son decisivos para que Zubiri abandone su anterior Teoría de la Consistencia de la Verdad y su formalismo de la matemática. Ahora bien, si la consistencia no puede ser demostrada en un sistema finito (que sea mínimamente interesante) ¿cuál es entonces el criterio de verdad matemática? El primer Teorema de Gödel, según señalamos, significa la anterioridad de la realidad sobre la verdad matemática. Pone de manifiesto que los postulados afirman el contenido de lo real. Dicho Teorema impone, pues, un nuevo giro en la Teoría de la Verdad, desde un criterio lógico-formal hacia un criterio realista. Según Zubiri, la realidad matemática funda la verdad matemática. Esto le conduce a su Teoría de la Conformidad de la Verdad matemática, que estudiaremos en el siguiente punto Simplemente puntualizamos que no hay que entenderla como la Teoría de la Verdad de la Correspondencia. La vuelta de Zubiri de los "objetos" a la "realidad" no es a una realidad transcendente sino a una realidad transcendental.

Zubiri, teniendo presente que el objeto matemático es una entidad positiva, que primero denomina cosa objetual y posteriormente realidad "en construcción", se pregunta por el alcance del criterio lógico-formal de la no-contradicción. ¿Puede constituir un objeto matemático? Señala que constituye un límite, pero no puede fundar una entidad positiva. No es lo mismo hablar de ‘incontradicción" referido a conceptos objetivos que a realidad física. Y en matemáticas, en la interpretación que hace Zubiri del teorema de incompletitud, no se trata de conceptos objetivos sino de realidad postulada. Y esto es esencial. La unidad real matemática (como de cualquier otra realidad) es solidaridad física. No es simple incontradicción, sino que hay una versión de cada nota al "estar desde sí misma determinada a formar unidad con las demás". Las notas son nota-de las demás. Hay una "vinculación física como momento intrínseco de la realidad física de cada nota". Cada nota existe físicamente en función de todas las demás, respecto de todas y cada una de ellas.

En la matemática, las construcciones sentientes de objetos no son meras posibilidades objetivas sino posibilidades reales (o posibilidades objetuales) del sistema de axiomas o postulados.[30] Esto carecería de sentido si la naturaleza de la matemática fuera lógica: la mera posibilidad lógica sería posibilidad matemática. Sin embargo, insistimos en que el primer Teorema de Gödel muestra que el objeto de la matemática es real, por tanto, su posibilidad no es mera posibilidad lógica[31], sino que es posibilidad real. La posibilidad de los distintos sistemas geométricos no es una posibilidad meramente negativa, sino que ha de ser una posibilidad real positiva. Y de ahí que no basta con la Coherencia formal sino que se trata de la Coherencia real. En el capítulo del Constructivismo sentiente de Zubiri, vimos que la creación matemática ha de tener una unidad coherencial, pero que no es suficiente; para que sea real tiene que proyectarse en la formalidad campal de realidad, entonces es unidad estructural de realidad.

Ciertamente lo contradictorio no podrá realizarse jamás. Pero la cuestión es ¿cuándo es algo contradictorio? El principio de contradicción que afirma que jamás pueden realizarse en la misma cosa y en el mismo aspecto dos notas contradictorias, es verdadero y evidente. Ahora bien, el principio de contradicción con seguridad sólo lo podemos aplicar "en el orden de lo formalmente concebido en cuanto tal" y no en el orden de la realidad. Sólo si tenemos una cosa con las meras notas objetivamente concebidas podemos comprobar si hay o no contradicción entre alguna de ellas. Pero el primer Teorema de Gödel significa que el objeto matemático por ser realidad tiene más notas de las meramente concebidas y deducidas por el sujeto, ¿puede darse entonces la condición para poder seguir aplicando el principio de contradicción a lo que no sea puramente lógico, y en nuestro caso a la matemática?

"Si lo trasladamos del orden de la objetividad al orden de la realidad, es decir, a las cosas en que los conceptos objetivos están realizados según su propia razón formal, la cuestión cambia de aspecto. Porque la condición para que se aplique el principio de contradicción es que se trata de una cosa que no sea sino lo que formalmente contienen las notas objetivamente concebidas. Y aquí empiezan las dificultades. Porque esta condición, ¿es ella misma posible? No lo creo"[32]

Gödel muestra precisamente que el programa de Hilbert al probar que la matemática carece de contradicción es inviable desde un sistema con número finito de axiomas y postulados, no que sea falso. Si la matemática fuera idéntica a la lógica no sería una objeción. Pero no es así; por estar realizados, las definiciones y postulados tienen más propiedades que las notas objetivamente concebidas (Teorema de Gödel). Y no sólo en el sentido de la implicación, que es evidente, sino de todas las propiedades "com-plicadas", "co-puestas", por el mero hecho de haber sido puestas o realizadas. El contenido que expresan los postulados matemáticos al realizarse se abre al "más" en que consiste la realidad y que no se agota en ningún contenido determinado sino que los trasciende a todos.

"No sólo tratándose de cosas reales, sino de objetos, el mero hecho de que se realicen en aquéllas, o de que realicemos nosotros en éstos, varias notas objetivamente concebidas, lleva inexorablemente aparejado consigo el que eo ipso esas cosas u objetos, tengan más propiedades que las que hemos concebido objetivamente"[33]

Y continúa:

Y esto no sólo en el sentido de la implicación. lo cual es obvio: en efecto, si una cosa tiene N propiedades, tiene también todas las que inexorablemente se deducen de ellas, es decir, tiene más propiedades por implicación. No me refiero a esto, sino a otras propiedades que no están implicadas, sino más bien "com-plicadas" con las iniciales, "co-puestas" al ser "puestas" éstas y por el mero hecho de haber sido puestas o realizadas" [34]

Este es un grave problema para la aplicación del principio de no-contradicción a la matemática. Todas estas dificultades inducen a la conclusión que saca Zubiri: el objeto matemático no es un "ser posible" sino una "realidad postulada".

"La realización, sea en el orden físico o en el objetual, es en cuanto tal, raíz de otras propiedades. En tal caso no es que no sea verdadero para esas cosas el principio de contradicción, sino que su aplicación resulta problemática y vidriosa, dado que el sujeto al que se aplica es complejo y la pureza formal del concepto puede sufrir limaduras importantes"[35]

Hay otras dificultades más graves. La aplicación del principio de contradicción requiere acotar la realidad, pero es artificioso puesto que la realidad está toda ella conectada. Un carácter trascendental de la realidad es su comunicación o ex-tensidad. El dato primario es la unidad de la respectividad de la realidad en cuanto tal, esto es, el mundo. Así pues, para la aplicación del principio de "contra-dicción" adecuadamente tendríamos que tener presente "la totalidad de la realidad en su integridad", como sujeto de atribución del logos. Pero este logos no se da en ningún caso en el ser humano.

"De ahí que muchas cosas que pertinazmente han podido parecer contradictorias, no lo sean en realidad y recíprocamente; no porque no sea verdad el principio de contradicción, sino porque la realidad no realiza el supuesto de la "dicción", a saber, contener sujetos desconectados" [36]

No puede identificarse la posibilidad de "entes" matemáticos y su mero concepto incontradictorio, pues, como hemos visto, son insalvables las dificultades de lograr el supuesto en el que se apoya el principio de no-contradicción[37]. La realidad matemática no se apoya en objetos ideales o en un sistema formal consistente. Los conceptos lógicos, frente a toda concepción de corte racionalista, no son fundamentos de las realidades matemáticas en ningún caso. La realidad matemática es posible por un momento esencial físico de la realidad y no por la consistencia de un sistema formal. Se han invertido los términos: no es lo posible fundamento de lo real sino lo real fundamento de lo posible. La realidad matemática es anterior a la lógica matemática. La no-contradicción es un carácter de la realidad dada antes que una necesidad de un concepto. Zubiri quiere disipar el equívoco que sobre este punto se viene cometiendo de aplicar la necesidad lógica como un "a priori" a las afirmaciones que se hace sobre la realidad. Por el contrario, es la realidad la que es incontradictoria y en toda afirmación o realización de una simple aprehensión en ella, nos fuerza a respetar este carácter suyo. El ámbito del principio de contradicción está pues en la afirmación pero en cuanto afirmado y no en el acto de la afirmación[38].

La repercusión del segundo Teorema de Gödel, que acabamos de analizar en Sobre la Esencia, creemos que no sólo afecta a la matemática, sino que también a la propia concepción de la esencia. Y esto es capital. En la Teoría Fenomenológica del Juicio, la matemática y las esencias eran objetos que se hallaban en el mismo "reino platónico de las Ideas", permaneciendo inmutables e infalibles, y fundantes de la realidad. El giro matemático necesariamente conmueve todo lo que se hallaba en ese mismo reino. La esencia no es algo posible, consistente en sí mismo, y que necesita del acto de la existencia para ser realidad; no es anterior a la realidad y fundante de ésta. Por el contrario, el Teorema de Gödel muestra que no puede definirse la consistencia, sino que algo es consistente está en su propia realidad; la esencia es un momento estructural de la cosa real, es la unidad coherencial primaria de notas, que determina la posición de todas las demás notas; y esta realidad es la que funda la posibilidad real. Esta es una de las dimensiones matemáticas en la propia metafísica del autor, que refleja en la práctica la afirmación zubiriana de que una nueva interpretación de la matemática lleva a una nueva filosofía. En este caso, creemos que una nueva interpretación de la realidad matemática lleva a una nueva concepción de la esencia.

El abandono de la Teoría de la Verdad de la Consistencia significa igualmente el abandono de la concepción de Adecuación de la verdad, sostenido por todo tipo de dogmatismo epistemológico. Si un resultado matemático fuera consistente con un sistema de postulados y axiomas, su verdad sería totalmente adecuada al sistema, y por tanto, definitiva. Vemos a continuación cómo el Teorema de Gödel, precisamente porque significa que la realidad es fundamento de la verdad, muestra que la verdad matemática nunca es adecuada a la realidad matemática.

 

1.2.3 Aproximación aspectual de la verdad a la realidad matemática.

Zubiri distingue dos momentos en la verdad del juicio verdadero: 1. la Conformidad, y 2. la Adecuación. Conformidad significa "que aquello que en el juicio se afirma de la cosa real está realizado en ella". Y "Ad-ecuación" significa que lo que se afirma está realizado en la cosa real en forma tal que hay "un recubrimiento total entre la simple aprehensión, cuya realización se da efectivamente en la cosa, y lo que esta cosa es en realidad". La pregunta que nos sale al paso es la siguiente: en la verdad del juicio matemático ¿se da esta distinción entre conformidad y adecuación ?, ¿no son los juicios matemáticos totalmente adecuados? La respuesta de Zubiri en su primera filosofía de la matemática es muy distinta a la que da en su segunda filosofía de la matemática. Y en este giro es esencial la repercusión del Teorema de Gödel. Analizamos una y otra.

Ciertamente esta cuestión ya vimos que la plantea Zubiri en la Teoría Fenomenológica del Juicio . En esta primera concepción el autor considera que "la ciencia física es puramente aproximada" Pero no las leyes matemáticas que eran absolutas y perfectamente adecuadas a su objeto ideal. De ahí su dogmatismo inicial. Para lo que se muestran inadecuadas es para expresar la realidad cósmica, pero es distinto el referirlas a su propio objeto que a la realidad cósmica.

"Toda ley física es aproximada, relativa y simbólica. Aproximada por el carácter aproximativo que tanto cualitativa como cuantitativamente tiene el experimento. Relativa al grado de afinamiento inductivo que se quiera obtener...Finalmente toda ley es simbólica porque la Matemática no es retrato sino símbolo de la realidad, y toda ley física se formula en términos matemáticos"[39]

Añade a continuación:

Y como siempre hay inecuación entre lo absoluto de una función matemática y lo aproximativo de la realidad, resulta que a una ley pueden responder infinitos hechos respecto de los cuales tiene aquélla un puro valor simbólico. Una ley matemática tal como el teorema de Pitágoras no admite los predicados citados" [40]

El teorema de Gödel pone en crisis esta concepción y responde de manera muy distinta a la cuestión: ¿es la verdad adecuada a la realidad matemática? En efecto, según Zubiri, dicho teorema significa que la verdad matemática es conforme, pero no es adecuada a la realidad matemática; es decir, es una aproximación a su realidad "postulada". De este modo no hay diferencia entre las verdades físicas y las verdades de la matemática, en toda verdad dual se da siempre el momento de conformidad, pero no el de adecuación.

"Para la intelección en movimiento, la adecuación será siempre y sólo una meta lejana. De aquí que todo juicio verdadero, toda verdad dual, sea estructuralmente aproximación: es la aproximación gradual a lo real, una aproximación cada uno de cuyos momentos es una conformidad. Toda verdad dual es por esto intrínseca y estructuralmente aproximada dentro de la realidad, aproximada a lo que tendría que ser una verdad adecuada"[41]

Zubiri sale al paso de la objeción de que la matemática enuncia proposiciones exactas de la realidad matemática, de un número, de una figura, etc; y aclara que esto no quiere decir que sean juicios adecuados, sino que su aproximación es de un tipo distinto del de la inexactitud.

"Hay distintos tipos de aproximación... Toda inexactitud es aproximación, pero no toda aproximación es inexactitud. Y esto es esencial para entender otros tipos de juicios, por ejemplo, los juicios matemáticos, la verdad matemática" [42]

La aproximación de inexactitud es la propia de las cosas que son "dadas" en la aprehensión primordial de realidad. Zubiri pone el siguiente ejemplo, si digo "este papel es blanco", hay conformidad pero no hay adecuación, para que ésta se diera habría que precisar es "blanco en tal o cual grado", y así sucesivamente hasta el infinito.[43] Esto evidentemente no ocurre en la matemática. Si digo "dos más dos son cuatro" no tengo que precisar en qué grado de exactitud es así porque es una respuesta rigurosamente exacta. Por tanto, los juicios matemáticos no son aproximaciones en el sentido de gradual inexactitud como en el caso de las realidades "en y por sí mismas". Las realidades matemáticas no son dadas en la aprehensión primordial, sino que son "puestas" en primer lugar por una "definición" de lo que es esa realidad, y en segundo lugar por un "postulado" de su realidad. De estas realidades, construidas sentientemente, la intelección matemática enuncia juicios que son exactos. Pero, a pesar de su exactitud en orden a la conformidad, vuelve a plantearse Zubiri, ¿son adecuados o son meramente aproximados los juicios matemáticos?.

"Y nuestra cuestión está en saber si esas propiedades rigurosamente conformes a la cosa recubren adecuadamente aquello a que se refieren, por ejemplo, a un número o a una figura. Para esto haría falta saber qué ‘es’ esa figura o ese número" [44]

Todo objeto matemático se define y postula no aisladamente, sino en relación con el conjunto entero a que pertenece, "cada cosa [ente matemático] no es sino un ‘aspecto’ de esta totalidad, es una realización aspectual de lo definido y postulado... Sólo de este carácter aspectual recibe su realidad cada "cosa" matemática"[45]. Si el todo sólo fuera el conjunto de las partes postuladas y definidas, éstas serían conocidas en cuanto aspectos de forma adecuada. No es el caso, el Teorema de Gödel hemos visto que pone de manifiesto que lo postulado y definido por ser contenido de realidad, siempre tiene más caracteres que los meramente postulados y definidos. La conclusión que saca Zubiri, es que "entonces, la intelección adecuada de cada cosa en ese todo se deja, en cada paso, fuera de lo definido y postulado, propiedades a las que no alcanza el movimiento intelectivo" [46]. La intelección adecuada sería la que nos diera el conjunto de todas las propiedades, y cada aspecto pudiera ponerse a su luz. Por tanto, hay una distinción entre conformidad y adecuación en matemáticas. Cada conformidad es una inexorable aproximación a una adecuación que tiene más propiedades que lo definido y postulado. De ahí que aunque no tengamos en la matemática aproximación de inexactitud sí que hay aproximación de aspectualidad.

En la concepción logicista y formalista de la matemática no hay esta distinción entre conformidad y adecuación, ello es debido a que el objeto matemático es idéntico al objeto lógico (es la primera concepción de Zubiri). Por ello, el teorema de Gödel pone de relieve estas dos consideraciones: 1. la "realidad" postulada de lo matemático, y 2. el carácter de aproximación aspectual de la verdad matemática. Transcribimos el texto de Zubiri que, con gran lucidez, plasma la potencia filosófica del Teorema de Gödel que en otros autores resulta un barrunto.

"Si la matemática no fuera más que un sistema de teoremas y demostraciones lógicamente encadenadas, la distinción entre conformidad y adecuación no pasaría de ser una sutileza conceptual. Pero la matemática no es eso; es la intelección de realidades matemáticas, dotadas de estructura propia. Por eso es por lo que a mi modo de ver el teorema de Gödel no sólo remite a la "realidad" postulada sino que muestra que respecto de ella toda verdad matemática es una aproximación aspectual, porque aquella realidad tiene una "estructura" propia translógica"[47]

La conclusión que nos arroja el análisis anterior de la verdad matemática, a partir de la interpretación zubiriana del Teorema de Gödel, es que tan aproximada es la verdad matemática como la verdad física a sus respectivas realidades, en un caso postulada y en el otro dada. Tan aplicable es a la física como a la matemática la consideración del autor de que la conformación se da siempre en la verdad del juicio, mientras que la adecuación no. El origen de la distinción entre conformidad y adecuación está en la diferencia entre aprehensión primordial de realidad e intelección en distancia de lo que es en realidad.

"...la simple aprehensión, y por tanto la afirmación de su realización, aun siendo conforme a lo real no es forzosamente adecuada a lo real. No hay ‘ecuación’: tal es el origen de la diferencia que estudiamos. No se debe a la conexión entre el contenido del predicado y el contenido del sujeto sino al carácter de intelección distanciada de lo que la cosa, ya real, es en realidad. Sólo la diferencia entre aprehensión primordial de realidad y intelección en distancia de lo que es en realidad, es el origen de la diferencia entre conformidad y adecuación"[48]

Son dos momentos distintos de la verdad dual pero articulados: cada conformidad apunta hacia la adecuación, como índice de un camino, pero como tal inalcanzable.

"Todos los juicios verdaderos como conformidad, apuntan a una remota adecuación en lejanía. Este punto jamás se logrará alcanzar por un movimiento intelectivo"[49]

Hasta aquí hemos tratado la adecuación como límite en el dinamismo en que consisten los juicios matemáticos. A continuación veremos la dialéctica de la adecuación en la marcha de la razón.

Según Zubiri, la verdad de la razón es verificación. Verificar es probar el esbozo libremente creado como fundamento de la realidad campal en ésta. La verificación no es una cualidad que se tiene o no se tiene, sino que es siempre un ir verificando. El esbozo no se verifica en sí mismo, pero ha de ser suficiente para ir fundamentando lo campal, ya sea en sus consecuencias, en sus concordancias o en sus convergencias. Para que la intelección racional tenga valor científico la verificación tiene que darse también en la línea de la excedencia de lo esbozado respecto del campo que lleva a descubrir nuevas propiedades verificables. En ninguna de las dos líneas la verificación es absoluta, sino que tiene un carácter meramente provisional. Esta provisionalidad es parcial inadecuación. Verificar es ir adecuándose a lo real. Lo esbozado, en cuanto que es más o menos verificado, es más o menos adecuado.

"Claro está, ni la línea de la suficiencia ni la línea de la excedencia son verificaciones absolutas sino una marcha hacia una verificación en lontananza. Cada momento de ella por sí mismo no tiene por tanto valor absoluto sino una verificación provisional. Aquí provisional no significa que va a ser derogado o absorbido, porque ni la derogación ni la absorción son caracteres formales de la marcha verificante... La provisionalidad no consiste sino en parcial inadecuación. La posible derogación o superación o diversificación en la verificación se inscribe formalmente en la adecuación." [50]

La razón humana en cuanto sentiente es una marcha en tanteo. Siente su marcha en la realidad y en ella intelige la realidad en cuanto "realidad-tanteada". Se va tanteando la adecuación de la verificación.

"La razón sentiente es en última instancia razón que se mueve en tanteo, y lo que tantea es formalmente la adecuación de la verificación. La dialéctica de la adecuación es tanteo progresivo de la verificación" [51]

 

1.2.4 Cuestión crítica: regreso al infinito y respectividad de lo real

Lakatos, como hemos visto, considera que el teorema de Gödel significa que el regreso al infinito en matemáticas (como en el resto de las ciencias) no puede detenerse, de ahí que no haya fundamentos infalibles de la matemática. El propio Zubiri experiencia esta exigencia gödeliana que le determina a abandonar el dogmatismo de su primera concepción de la matemática y profesar un cierto escepticismo en la propia intelección matemática. La verdad matemática es conforme, pero no es adecuada a la realidad matemática. La adecuación es inalcanzable, sólo hay aproximación a ella.

Ahora bien, ¿a qué se debe el regreso al infinito en el conocimiento? Dado que ésta es la piedra de toque para decidir el problema del conocimiento, requiere un tratamiento mayor que el de Lakatos. En Zubiri no aparece explícitamente esta cuestión pero sí hay elementos que nos permiten su análisis. Podríamos aventurar que Zubiri formula en Metafísica un teorema equivalente al de Incompletitud de Gödel en la Matemática; lo denominamos: Principio de ex-tensidad de lo real, es el carácter estructural de la realidad en condición de respectividad. Su formulación es: ningún sistema de notas del contenido de una cosa real agota la realidad de la cosa, sino que toda cosa real por su momento de realidad es "más" que el mero contenido de sus notas, y esto porque está abierta a todo lo demás. Toda realidad en cuanto realidad tiene el carácter metafísico de la respectividad. A la unidad de la respectividad de la realidad en cuanto tal la denomina Zubiri mundo. Pues bien, la respectividad de la realidad en cuanto tal es la clave de la remisión infinita de la realidad actualizada. Cada nota remite a otra y "jamás sabremos la amplitud de esta remisión"[52].

"La remisión, en efecto, se funda ante todo en la respectividad constitutiva de lo real en cuanto real, esto es, se funda en que lo real es constitutivamente mundanal"[53]

La regresión infinita del conocimiento se fundamenta, pues, en la respectividad o remisión infinita de la realidad actualizada y no se debe a la mera limitación de nuestro entendimiento. Zubiri y Lakatos tienen por objeto no la trivialidad sino la profundidad y, como ambos señalan, esta cuestión es infinita. Dirá Zubiri que no es lo mismo profundidad y ultimidad, y mientras que la primera es posible, la segunda no. El conocimiento matemático, frente a todo dogmatismo, resulta siempre un problema abierto.

"La profundidad tiene grados; y esta gradación va hasta el infinito. La profundidad tiene hondura insondable. Conocer algo en profundidad no es conocerlo ya en su realidad última. Más aún, la intelección en profundidad es un hecho; pero el acceso a la ultimidad es constitutivamente un problema siempre abierto hasta el infinito"[54]

Pero, insistimos, esta incompletitud del conocimiento se debe a la incompletitud de la realidad. Es la apertura absoluta de la formalidad de realidad la causa de que nuestro conocimiento nunca pueda ser adecuado sino que siempre tendrá carácter provisional. La adecuación es un límite en el infinito. Un conocimiento sería adecuado si tuviéramos presente la totalidad de la realidad, lo cual es imposible por su carácter respectivo. La inagotabilidad de la matemática es un capítulo de la inagotabilidad del conocimiento en general y esto debido a la propia inagotabilidad de la realidad dada en impresión sentiente.

"La realidad es abierta en cuanto realidad, porque su apertura no es sino su constitutiva respectividad. La tarea de la razón es indefinida no sólo en el sentido de que jamás agotará lo que en concreto se propone inteligir, sino que es indefinida ante todo y sobre todo porque lo inteligido mismo, a saber, lo real en cuanto real, es formal y constitutivamente abierto, y por tanto jamás clausurado. En este ámbito abierto, en este mundo, es en el que acontece la búsqueda intelectiva de la razón: es búsqueda en la realidad"[55]

Lakatos y Zubiri nos ofrecen un nuevo modelo de racionalidad, irreductible a cualquier mecanismo, que va tanteando la realidad profunda entre los dos umbrales cognitivos: dogmatismo y escepticismo. La cuestión es si efectivamente en ambos casos se evitan los extremos que anulan el conocimiento mismo. El regreso al infinito es admitido tanto por Lakatos como por Zubiri; su apoyo matemático es el Teorema de Gödel. Por tanto, el dogmatismo matemático queda refutado por Gödel-Lakatos-Zubiri. ¿Y el escepticismo?

Si aceptamos que falible significa conocimiento "penúltimo" y que crítica es acicate de mayor profundidad en la construcción del contenido, es posible compatibilizar el falibilismo que denominamos sentiente y el rechazo del escepticismo, pero si falible es duda y no poseemos seguridad de ningún tipo ¿cómo es posible evitar caer en el escepticismo? Si no hay nada que nos sea dado de modo inmediato para apoyarnos en nuestra marcha o aventura de la razón, ¿cómo podemos ni tan siquiera construir el contenido sin que sea una quimera?, ¿no nos pasaría como a la paloma kantiana que prefiriera el espacio vacío al aire porque éste le ofrece una resistencia, sin percibir la imposibilidad de su vuelo sin ese medio?, ¿es que podríamos ponernos a pensar sin un principio que nos activara a ello, es decir, sin estar ya en el ámbito de la realidad y en el ámbito de la verdad? La falibilidad del conocimiento si nos atenemos exclusivamente al contenido de realidad nos conduce a un escepticismo. ¿No es el falibilismo lakatosiano un falibilismo concipiente?

Creemos que Zubiri fundamenta desde inteligencia sentiente el falibilismo lakatosiano para salvarlo verdaderamente del escepticismo y sin aproximarse ni remotamente al dogmatismo, pues la razón es búsqueda incesante. Pero la firmeza de la marcha intelectiva está dada por el aspecto sentiente de la razón, sentimos que marchamos en la realidad. La formalidad de realidad es un dato infalible que nos es dado sentientemente y por eso nos lanza hacia lo que eso real sea en "la" realidad, y en ello radica toda la provisionalidad del conocimiento. El fundamento de la matemática, pues, según Zubiri, no es inmutable ni último sino que es el momento transcendental de la formalidad de realidad dada en impresión de realidad en inteligencia sentiente. El báculo del falibilismo para no caer en el escepticismo se halla en la línea de la formalidad de realidad. Ahora bien, Lakatos plantea el tema de los fundamentos de la matemática en la línea del contenido, "resbalando" sobre la formalidad, y le hace desembocar en el falibilismo, que en la línea del contenido es incuestionable; sin embargo, la firmeza se halla en la línea de la formalidad: este dato es infalible. Desde la inteligencia sentiente nos hallamos siempre instalados en la realidad, lo problemático sólo será cuál sea el contenido mundanal de una cosa. Zubiri es filósofo falibilista de la matemática en la línea del contenido no en la línea de la formalidad de realidad. En este sentido, denominamos su falibilismo: falibilismo sentiente, frente al falibilismo de Lakatos que es falibilismo concipiente.

"La razón es sentiente. Lo que tiene de sentiente asegura el que sea realidad aquello que intelige, pero el que ésta realidad sea el ámbito de profundidad, abre y constituye la libertad creadora de la razón. Esta libertad concierne al contenido de la realidad profunda"[56]

Las conjeturas no son creación absolutamente libres como supone Lakatos, sino que, según Zubiri, la realidad se impone a la inteligencia en tres modos distintos: como fuerza irrefragable de la formalidad inmediata, como fuerza exigencial de lo real, y como fuerza coercitiva de la realidad. Esta imposición impide la arbitrariedad de nuestra conjetura. Admitir la falibilidad de la matemática contra el escepticismo sólo es posible si fundamentamos la matemática no lógicamente, ni intuitivamente, sino sentientemente. Sentimos que nos movemos en la respectividad de la realidad, pero sin llegar a abarcarla nunca. En la realidad no se trata de evidencias últimas, ni principios lógicos. Este fundamento cumpliría el deseo de la epistemología de Lakatos.

El constructivismo de Zubiri —con sus dos términos congéneres, realidad e inteligencia sentiente, sugeridos en gran parte por el teorema de incompletitud de Gödel— permite fundamentar la verdad matemática y el conocimiento en general frente al escepticismo, pero no de un modo dogmático sino precisamente dando razón del regreso infinito en el conocimiento. Este es su valor histórico.

 

1.3 Exigencia gödeliana: unificación de la verdad matemática con las del resto de las ciencias.

 

A las verdades matemáticas se les ha dotado de un carácter específico frente a las verdades de las ciencias de la naturaleza. La demarcación entre ambas ha consistido en denominar a las primeras "verdades de razón" y "verdades demostrables", y, por el contrario, a las segundas "verdades de hecho" y "verdades de experiencia". Es la clasificación que, por ejemplo, sostiene Hempel (y el neopositivismo). ¿Es esto así? El Teorema de Gödel supone una fuerte conmoción a esta consideración clásica. A partir de éste, se equipara la verdad matemática a la verdad de las ciencias de la naturaleza. Frente a la logificación pre-gödeliana de la verdad matemática nos encontramos con un movimiento inverso de empirificación gödeliana de la verdad matemática, e igualmente de reificación gödeliana de la verdad matemática. Somos conscientes de la gran polémica que suscita estas afirmaciones, y que por tanto decirlas así sin más lleva a graves equívocos. Para evitarlo tendremos que matizar claramente qué se se está entendiendo por experiencia y qué se está entendiendo por realidad, en cada caso. Porque a pesar de las convergencias entre Lakatos, por ejemplo, y Zubiri, está claro que cuando ambos hablan de experiencia matemática no dicen exactamente lo mismo. Y, por último, habrá que ver si la unificación es mera uniformidad o dentro de la unidad hay algún tipo de distinción. La cuestión es de suma actualidad en la filosofía de la matemática, y la solución de Zubiri es original.

 

1.3.1 Verdad matemática: verdad demostrable versus verdad empírica

Así como la logificación de la matemática llevó a la identificación del método matemático con el razonamiento deductivo, en el tema de la verdad va a llevar a la identificación de ésta con la demostrabilidad. Esto comporta que una afirmación matemática es verdadera si es deducible del sistema de postulados del que se parte. De este modo se afirmará que las verdades matemáticas son verdades deductivas frente a las verdades científicas que son verdades empíricas. Es la postura que mantienen la escuela "logicista", la escuela "formalista" y más concretamente el Positivismo lógico. A continuación caracterizaremos brevemente esta postura, siguiendo en nuestro análisis a Hempel, para después ver la crisis gödeliana de la misma.

Hempel en su artículo "Sobre la naturaleza de la verdad matemática" [57] distingue las ciencias empíricas que tienen como criterio de verdad el experimento, de la matemática y ciencias formales por cuyo criterio de verdad se pregunta. Las dificultades que encuentra para considerar que las proposiciones de la matemática son verdades evidentes por sí mismas o autoevidentes son:

1. Muchos teoremas matemáticos no resultan autoevidentes.

2. Algunos resultados de campos como la teoría abstracta de conjuntos y la topología chocan con intuiciones profundamente arraigadas y con el tipo usual de sentimiento de la autoevidencia.

3. La existencia de conjeturas matemáticas como las de Goldbach y Fermat, muestran que no todas las verdades matemáticas pueden ser autoevidentes.

4. La autoevidencia no puede ser una base adecuada para decidir la validez de las verdades matemáticas porque puede variar lo que una persona tiene por evidente respecto a otra.

Hempel, en su análisis crítico, excluye la posibilidad de que las verdades matemáticas sean autoevidentes o intuitivas y llega a la identificación: verdad matemática = demostrabilidad. El autor justifica la sustitución del concepto de verdad por el de demostrabilidad ya que existen construcciones de varios sistemas de geometría que son incompatibles con la euclídea: la geometría hiperbólica descubierta por Lobatchevski y Bolyai, y la geometría elíptica desarrollada por Riemann. Las proposiciones de geometría pura no afirman nada empírico y por esto mismo no pueden ser autoevidentes. Sus teoremas son meramente analíticos y su verdad es a priori, con carácter de certeza por no hacer referencia, como decimos, a ningún contenido fáctico. De este modo, la naturaleza de la matemática pura y la lógica formal es la misma, no establecen ninguna afirmación sobre materias empíricas de hecho. Sin embargo, según Hempel, nos proporcionan un aparato formal para deducir desde unos supuestos teóricos abstractos consecuencias que son concretas y específicas, de tal modo que puedan ser susceptibles de una prueba empírica. La naturaleza de la verdad matemática la establece el autor según el método que considera propio de la matemática: la demostración. Y en la línea que denominamos "logificación de la matemática", quedan identificados método y lógica. Y correlativamente verdad y demostrabilidad.

Hempel está convencido de la certeza y necesidad de los resultados de la matemática. A diferencia de la provisionalidad de las teorías de la ciencia empírica, las verdades matemáticas son definitivas, pues ningún descubrimiento empírico puede afectarles. Por tanto, la base de la necesidad matemática está en el carácter puramente deductivo de la demostración matemática. La deducción lógica es un mero análisis conceptual. Siguiendo la terminología kantiana, puede decirse que es una operación de análisis y no de síntesis; explicita lo que ya está contenido en un conjunto de premisas dado, pero ninguna conclusión añade nada al contenido en las suposiciones iniciales. Hempel sostiene que un teorema matemático es cierto relativamente al conjunto de postulados a partir de los cuales se deriva, el teorema es verdadero si son verdaderos los postulados. Al carecer de contenido empírico, una verdad matemática es irrefutable. Así todo teorema, por ejemplo, de la geometría, que es el primer modelo histórico de ciencia deductiva, resulta analítico en el sentido lógico, en función de los postulados, y, de este modo, su verdad es a priori. Esto significa que su verdad no depende de los datos empíricos sino que se obtienen a partir de la lógica formal.

¿Es esto así? ¿Es idéntica la verdad matemática a la demostración lógica? Desde el Teorema de Gödel está claro que no. Las palabras de W. V. Quine condensan el significado del Teorema de Gödel como una "sacudida" a la concepción clásica de verdad matemática. Dice:

"El descubrimiento de Gödel constituyó una sacudida a la concepción clásica. Se suponía que la misma naturaleza de la verdad matemática era su demostrabilidad. Pero no es así"[58]

Comprobar que una proposición sea verdadera es distinto a comprobar que sea demostrable. La verdad de una proposición no nos asegura su demostrabilidad. Efectivamente, según ya hemos expuesto, esto se puede concluir del Teorema de Gödel, según el cual hay verdades que no son "deducibles" del sistema de postulados y definiciones. De modo independiente Tarski llegó también en 1929 a la imposibilidad de reducir el concepto de verdad al de demostrabilidad en un sistema deductivo apropiado. Estos resultados matemáticos de Gödel y Tarski apoyan la superación de posturas como la de Hempel y el positivismo lógico. Lo vamos a ver en Lakatos y posteriormente en Zubiri.

El Teorema de Gödel supone[59] para Lakatos el renacimiento del empirismo en la reciente filosofía de la matemática. Lakatos pone de manifiesto que no es un hecho aislado sino que se da en numerosos[60] filósofos de la matemática. De este modo queda invalidada (Zubiri se suma a ello) la siguiente demarcación logicista[61] de las ciencias sostenida, como hemos visto, por Hempel y el positivismo lógico:

 

Demarcación logicista
Ciencias Naturales	Matemáticas
a posteriori	a priori
empíricas	demostrativas
falibles	infalibles

 

 

El reto lakatosiano es mostrar que la deducción no es el patrón de la lógica del descubrimiento matemático del mismo modo como Popper mostró que la inducción no es la lógica del descubrimiento científico[62]. Lakatos reconoce la paternidad popperiana de la metodología empírica; y trata de mostrar, por primera vez, "...hasta qué punto el sistema conceptual popperiano de la lógica del descubrimiento en las ciencias empíricas es aplicable a la lógica del descubrimiento en las ciencias cuasi-empíricas y a la matemática en particular"[63]. Una deducción no aumenta el contenido y, por tanto, es puramente analítica y estéril. Lakatos afirma: "el estilo deductivista, esconde la lucha y oculta la aventura". La sofisticación y la falibilidad destruyen "el mito de la deducción infalible". Esquemáticamente veamos, el giro del ideal euclídeo-demostrativo al ideal cuasi-empírico.

 

Ideal euclídeo	versus	Ideal cuasi-empírico
Busca verdades auto-evidentes,		Busca "hipótesis imaginativas y audaces con una gran potencia explicativa y heurística". Es siempre conjetural.
Lógica infalibilista del descubrimiento.		Lógica falibilista del descubrimiento.
El método es la deducción—prueba demostrativa—de teoremas.		El patrón dialéctico es: conjeturas, pruebas y refutaciones.
La lógica es organon de prueba. El resultado es el desarrollo continuo y acumulativo de verdades eternas		La lógica es organon de crítica. Lucha de teorías competitivas. Revolución permanente y Proliferación de teorías

 

 

Constatamos que este renacimiento post-gödeliano del empirismo en la verdad matemática, del que habla Lakatos, se da también en Zubiri. Pero ya advertimos que esta expresión es peligrosa. Veamos de qué modo esto es así. Zubiri, tras abandonar el logicismo de la verdad de su primera filosofía de la matemática, afirma enérgicamente desde su concepción constructivo-sentiente de la verdad que ésta no se reduce a verdad lógica. Las verdades matemáticas no son meramente verdades deductivas, sino que son verdades idénticas a las de las ciencias naturales: de experiencia. Toda verdad, del tipo que sea, según Zubiri, es verdad de experiencia. Pero ¿Cómo hay que entender el término "experiencia" en el autor? No se trata de experiencia "sensorial". La experiencia matemática, ya lo vimos, consiste en la probación física de realidad postulada. No es algo meramente dado, sino que es un logro de profundización dentro de la realidad dada y sin salirnos de ella. No es un experimento extramental. Sólo desde esta concepción zubiriana de experiencia, es inadmisible la distinción verdades empíricas y verdades demostrables. Las verdades matemáticas son "probación física" de realidad de igual modo que las verdades de las ciencias naturales. En este caso las realidades son dadas y en el primero son postuladas, pero esta distinción no afecta al sentido de experiencia de realidad. Al ser el objeto matemático real y no conceptivo, necesariamente nuestra forma de conocerlo es experiencial y no demostrativa. Precisamente porque el método constructivo-sentiente es vía en la realidad postulada de la matemática, podemos obtener verdad matemática. La verdad matemática es verdad del contenido de la realidad matemática y no está carente del mismo como dice Hempel. Claro que realidad no es realidad "allende" la aprehensión primordial.

Zubiri tiene un concepto de realidad y experiencia distinto del empirismo lógico. Y es fundamental insistir en ello. Como el contenido de la realidad matemática es evidente que no es aprehendido primordialmente, esta constatación induce a la postura que niega el carácter de realidad al objeto matemático, y, consecuentemente, si no es ciencia de realidad tampoco es ciencia de experiencia, y, una última deducción, si no es ciencia de experiencia no puede hablarse de verdad sino meramente de validez. Desde un punto de vista más actual que el del empirismo lógico, el matemático y filósofo de la matemática MacLane, fundador de la escuela denominada por él mismo: "funcionalismo formal", llega a estas conclusiones, contrarias a la empirificación de la verdad matemática.

El Teorema de Gödel ha abierto un "palpitante" debate sobre si la verdad matemática es demostrativa o empírica. Para hacer de Zubiri un interlocutor válido en esta discusión actual hay que esclarecer los términos de realidad y de experiencia tal y como son creados por él, sólo así evitaremos los malentendidos a que puede dar lugar su concepción. Por ejemplo, la postura de Camino Cañón en este punto ¿cómo afecta a la concepción de Zubiri? Consideremos, en primer lugar, sus palabras que aluden de forma concreta en el siguiente texto a Wilder.

"Tampoco nos parece aceptable el situar la Matemática al nivel de las creencias empíricas y su verdad, en continuidad con la de aquellas.

Con Shanker pensamos que "hay una diferencia categorial entre la verdad de las proposiciones matemáticas y la de las proposiciones empíricas’. Aunque nuestro modo de defender este punto de vista no está construido con la argumentación de este autor wittgensteiniano..." [64]

La nivelación que Wilder hace de la Matemática con las ciencias naturales, que le conduce a una total relativización del conocimiento matemático y a una concepción pragmatista de la verdad, rechazado por la autora, ¿es del mismo tipo de la de Zubiri? ¿Y tiene las mismas consecuencias?. Al final del último capítulo de su libro Matemática: descubrimiento y creación, Camino. Cañón hace una conclusión contraria a la que nos lleva el estudio zubiriano:

"Terminamos esta reflexión en la que hemos pretendido ofrecer una concepción de la matemática que no renuncia a la relevancia de la historia en su construcción, sin aceptar por ello tratarla como una ciencia empírica. Es un producto cultural de la racionalidad humana que goza de una especificidad que las modas pueden ocultar, pero nunca destruir" [65]

¿Qué está entendiendo la propia autora por experiencia que le lleva a negarla como vía de encuentro de verdad matemática? ¿No es el mismo concepto que tiene Wilder y por ello lo rechaza? ¿Es lo mismo experiencia en Wilder que en Zubiri? Creemos que no. Zubiri rechaza también la identificación de la matemática con la experimentación física. Pero ello no le lleva a la negación del carácter empírico de la matemática, sino que su ruta es otra: negar la concepción que se está suponiendo sin discusión de lo que es experiencia, y alumbrar otra muy distinta, desde la cual puede afirmarse el carácter empírico de la matemática. Zubiri en esta discusión comenzaría preguntándose ¿quién ha dicho que "experiencia" es lo que entienden Wilder, W.Q. Quine, y en el fondo que sea el concepto de "experiencia" que tiene Mill? Zubiri, como Camino Cañón, rechaza que esta noción de experiencia sea adecuada a la matemática, ahora bien, como hemos dicho, no por ello niega el carácter empírico a la matemática, sino que modifica la noción misma de experiencia, enriqueciéndola de tal modo que resulta adecuada no sólo a la matemática sino a todo tipo de verdad racional. Esta nueva noción de experiencia sólo es posible desde una nueva concepción de inteligencia. No se trata de inteligencia concipiente sino de inteligencia sentiente. Zubiri sustituye la noción concipiente de experiencia por una concepción sentiente de la misma. De ahí la importancia de la noología de Zubiri como presupuesto de su original filosofía de la matemática. Este punto de partida le permite una radicalidad en su planteamiento que no es el usual.

Además en este debate actual, hay que hacerse otra pregunta: ¿De qué tipo de nivelación se trata entre matemáticas y ciencias naturales? ¿Hay una total uniformidad entre las verdades matemáticas y las verdades de las ciencias naturales? El mismo Lakatos llama a las verdades matemáticas: cuasi-empíricas. Ese "cuasi" es indicador de que no hay total uniformidad. Según Zubiri esta uniformidad tampoco se da. Aunque las verdades matemáticas son verdades empíricas, no son exactamente iguales a las verdades de las ciencias naturales. En efecto, el autor tiene un concepto tan rico de experiencia que le permite distinguir cuatro tipos distintos de experiencia: experimento, compenetración, comprobación, conformación. Pues bien, mientras que las verdades matemáticas son verdades de com-probación, las verdades de las ciencias naturales son verdades de experimentación. La distinción entre los modos de experiencia: experimento y comprobación, ha sido totalmente ignorada en la filosofía de la matemática, con consecuencias graves como hemos visto. La pobreza del término experiencia entendido sólo como experimento es lo que ha llevado a negar a la matemática su carácter empírico. O, en menor medida, a darle un carácter empírico que desvirtúa la naturaleza de la matemática como ocurre con la concepción del empirismo "sensualista". Pero ¿cómo vamos a experimentar en la realidad postulada de la matemática? Experimento, consiste, según el autor, en forzar a la realidad campal (sea inanimada o también seres vivos incluido el ser humano) a mostrar al experienciador su índole profunda. La realidad matemática ya vimos que no es en razón de su contenido una parte de la realidad campal, y por tanto no es experimentable. El experimento es una provocación de la realidad desde un esbozo de posibilidades, como modo de intelección; hay una intervención manipulante del experienciador. En la matemática, según Zubiri, no se trata de experimentar sino de comprobar. La prueba matemática no es un "cuasi-experimento" es otra cosa. En la comprobación, ya lo explicamos, se prueba la presencia de la realidad "en" la verdad deducida. Lo real aprehendido es lo que verdadea "con" la afirmación. Es com-probación de la realidad en su verdad.

Como la mente humana, en general, tiende en exceso a asimilar los esquemas nuevos a los esquemas anteriores, podríamos decir que esto es un mero cambio de lenguaje, y, que en el fondo, la distinción entre verdades comprobables y verdades experimentales, es lo que clásicamente se establece entre verdades demostrables y verdades empíricas. Creemos que no es un mero cambio lingüístico sino que responde a un verdadero cambio conceptual, esto es, paradigmático. El estatuto de la verdad matemática es muy distinto al lógico. Esquemáticamente:

 

Empirificación de la verdad matemática
Verdades de razón	versus	Verdades de experiencia
La verdad de razón es a priori		No es verdad a priori
Se identifica con demostrabilidad		Se identifica con experienciación
Se funda en conceptos de nuestra		Se funda en realidad dada

 

 

En conclusión, la nueva concepción de la verdad matemática que arroja el teorema de Gödel, supone para Lakatos y Zubiri la inviabilidad de la logificación de la verdad matemática. Y es un común denominador en los filósofos de nuestro tiempo. Sin embargo, Lakatos (lo mismo que Quine, y en general) incurriría, si se nos permite, en una "empirificación" de la verdad matemática desde la logificación de la intelección o inteligencia concipiente, mientras que Zubiri se une a esta "empirificación" de la verdad matemática pero desde la empirificación de la intelección, esto es, desde la inteligencia sentiente .

Esta postura de Zubiri resulta, pues, que está "a la moda" (como denomina Camino Cañón la corriente de empirificación de la matemática), pero sui generis. Digamos que está "a la altura de los tiempos". Es lo que denominamos en el encabezamiento de este punto: exigencia gödeliana de la unificación (no uniformación) de la verdad matemática con el resto.

 

1.3.2 Disolución de la distinción: verdades de razón (necesarias) y verdades de hecho (contingentes)

La unificación de la que hemos tratado en el punto anterior entre verdades matemáticas y verdades de las ciencias naturales, ¿significa que las verdades matemáticas no son verdades necesarias? [66], ¿son, por tanto, verdades contingentes? Esto es lo que parecen afirmar los autores que señalan que las verdades matemáticas son verdades empíricas. Ahora bien, antes de responder esta cuestión hay que hacerse la siguiente pregunta: ¿Es correcta la distinción leibniziana entre verdades de razón y verdades de hecho, y entre verdades necesarias y verdades contingentes? Pensamos que igual que en el debate actual sobre la cuestión: ¿son las verdades matemáticas demostrables o empíricas? no se ha discutido el significado de experiencia, y si hay verdades que sean meramente demostrables; así en la discusión sobre cuál es el carácter de las verdades matemática ¿necesario o contingente?, ¿de razón o de hecho?, no se ha puesto en cuestión la validez misma de esta distinción. ¿No es una distinción concipiente? ¿Pero es que hay verdades meramente de razón? ¿Hay verdades absolutamente necesarias? Nuestro filósofo vuelve a tocar un tema de suma actualidad e interés en la filosofía de la matemática.

Es clásica, desde Leibniz, la distinción entre verdades de hecho y verdades de razón, y la consecuente distinción entre verdades contingentes y verdades necesarias. Pero ¿son las verdades matemáticas verdades de razón? Actualmente se defiende en filosofía de la matemática tanto una cosa como otra. Por ejemplo, Quine rechaza que exista esta distinción entre verdades contingentes y verdades necesarias. Para este autor la experiencia puede afectar a los resultados matemáticos considerados ciertos, por tanto no son verdades necesarias. Esta postura, a su vez, es criticada por Kneale:

"Quine va demasiado lejos cuando trata de abolir la distinción entre verdades contingentes y verdades necesarias. Por una parte, los enunciados históricos y geográficos no podrán por menos de seguir siendo siempre contingentes, ya que no tendría objeto recurrir a la legislación lingüística con el fin de excluir las posibles alternativas a los mismos; mientras, por otra parte, enunciados tales como "Nada es completamente rojo y verde al mismo tiempo" habrán de ser de entrada necesariamente verdaderos, ya que se hallan garantizados por las reglas que de entrada admitimos y seguimos al tratar de distinguir unos de otros los diversos colores". [67]

La filosofía matemática de Zubiri ¿arroja alguna luz sobre esta cuestión? ¿Es admisible la distinción? Nuestro autor considera que la división entre verdades necesarias y verdades contingentes, o entre verdades de razón y verdades de hecho, es "conceptiva" y como tal inadecuada. Él expone su concepción realista de la verdad matemática al hilo precisamente de su crítica a la postura de Leibniz, uno de los precursores de la escuela logicista de la matemática.

¿En qué se basa la división de Leibniz? Las verdades de razón son verdades necesarias, es decir es imposible pensar otra cosa; se fundan en el principio de contradicción. Y las verdades de hecho son verdades contingentes, es decir no hay contradicción en pensar que pueden ser de otra manera. El autor compara la distinción entre verdades necesarias y verdades de hecho con la de de los números racionales e irracionales. Las verdades necesarias se reducen en último término a verdades idénticas captadas inmediatamente por la mente, pero en las verdades de hecho, como en los números irracionales, se prosigue continuamente hasta el infinito sin hallar una razón última de su verdad. De ahí que la certeza y razón perfecta de las verdades contingentes sólo es conocida a Dios. Son verdades de razón sólo para una mente divina no para la humana. Esta concepción racionalista de Leibniz es insostenible para Zubiri. Dice:

"Para Leibniz la verdad de razón es formal y constitutivamente necesaria: no puede ser de otra manera, es imposible pensar lo contrario. Por esto, la verdad de razón sería verdad eterna. En cambio, la verdad de hecho es verdad sobre algo que puede ser de otra manera; es posible lo contrario de ella. Por eso es verdad contingente.

Pero esta concepción es, a mi modo de ver, insostenible"[68]

Dejando aparte, dice el autor, que la mente humana es finita y como tal sus verdades serán siempre limitadas y que sólo una mente eterna puede aprehender una verdad eterna, lo verdaderamente grave de este error está en su falta de radicalidad, porque la distinción fundamental no está en verdades de hecho y verdades de razón. No se trata de verdades de ser objetivo sino que se trata de verdades de realidad. La verdad no es cuestión de identidad mediata o inmediata de conceptos. Toda verdad, desde la inteligencia sentiente, es primariamente verdad de realidad y no de conceptos objetivos. Y como toda realidad es dada, entonces, nos dice Zubiri, la distinción entre verdad de razón y verdad de hecho, y entre verdad necesaria y verdad contingente, es falsa. Esto hay que entenderlo en el sentido de que la base de toda verdad es el ámbito transcendental de realidad. En éste se construye toda libre creación de la inteligencia. Desde el punto de vista del transcendentalismo matemático, las verdades matemáticas no son verdades de razón, sino verdades de realidad.

"Para Leibniz la verdad es siempre cuestión de ser objetivo, esto es, de conceptos objetivos, y su ser está inteligido en esa forma de afirmación que es la identidad. La verdad es siempre identidad mediata o inmediata de conceptos. Pues bien, esto no es exacto. La verdad no es cuestión de conceptos objetivos sino de realidad. Y la realidad es siempre algo primaria y radicalmente dado, algo meramente actualizado en la intelección. De aquí que la distinción de Leibniz entre verdades de hecho y verdades de razón, entre verdades necesarias y verdades contingentes, sea falsa" [69]

Según Zubiri, la verdad siempre es verdad de realidad. La distinción de tipos de verdades sólo es admisible dentro de la misma línea de realidad. Hay verdades de realidad campal y verdades de realidad mundanal. La primera concierne a las cosas reales en el campo de la realidad, y la segunda al mundo mismo de lo real.

"la diferencia radical no es una diferencia entre hecho y necesidad, sino la diferencia entre realidad campal y realidad mundanal, que es cosa distinta" [70]

Desde la inteligencia sentiente, pues, hay que decir que la cuestión de si la verdad matemática es necesaria o contingente, está mal planteada porque supone una dualidad que no existe. Zubiri es tajante en negarla:

"De aquí que la distinción de Leibniz entre verdades de hecho y verdades de razón, entre verdades necesarias y verdades contingentes, sea falsa"[71]

Basándose en esta distinción, la matemática y la lógica se han considerado verdades necesarias, en cuanto verdades de razón que nada tenían que ver con la experiencia y por tanto irrefutables por ésta. Mientras que las ciencias empíricas se consideraban verdades contingentes, en cuanto que son verdades de hecho y por tanto dependientes de la experiencia. Este criterio lo han defendido racionalistas como Leibniz, y empiristas como Hume. Este es escéptico en cuanto a todo el saber excepto la matemática y la lógica que serían meras relaciones de ideas conformes con el principio de identidad.

"Todos los objetos cuya investigación se propone la razón humana, se dividen naturalmente en dos clases; la primera comprende las relaciones de ideas, la segunda, las cosas de hecho. A la primera pertenecen todas las proposiciones de geometría, de álgebra y de aritmética; en una palabra, todas las que son o intuitivamente o demostrativamente ciertas...

Las proposiciones de este género se descubren por simples operaciones del pensamiento, y no dependen en nada de las cosas que existen en el universo. Aunque no hubiese ni círculo, ni triángulo en la naturaleza, los teoremas demostrados por Euclides conservarían igualmente su evidencia y su verdad siempre[72].

Para Zubiri, la realidad no es sinónimo de contingente, es mera formalidad de lo aprehendido. Y lo sentido por el hecho de ser sentido tampoco es sinónimo de contingente. Según el constructivismo transcendental, las verdades matemáticas (lo mismo las verdades lógicas) no se fundan sólo en conceptos de nuestra mente sino que se fundan en realidad dada. Lo primario es la necesidad física y no la necesidad lógica. La necesidad física es la que nos lleva a la necesidad lógica y no al revés. Las verdades matemáticas, no son absolutamente necesarias sino que su necesidad depende de la realidad construida por postulados. Si cambiamos la realidad postulada cambian las verdades matemáticas. La suposición de que las verdades matemáticas son independientes de la realidad es lo que ha llevado a pensar que son eternas. Pero, según el constructivismo transcendental, no son verdades independientes de la realidad postulada, y no son, por tanto, verdades eternas.

"...las presuntas verdades de razón, ¿son verdades eternas en el sentido de Leibniz? Ciertamente no"[73]

"...se fundan intrínsecamente en realidad ‘dada’. Las verdades matemáticas son ciertamente necesarias, pero su necesidad pende de postulados, por tanto de realidad dada en y por postulados. En última instancia, las verdades matemáticas están ancladas en algo dado. Y por esto, podrían ser perfectamente de otra manera. Los postulados están, en efecto, libremente elegidos. Me bastaría con cambiar los postulados y la verdad matemática sería otra"[74]

La concepción de la verdad matemática hay que entenderla a la luz del constructivismo y transcendentalismo de la matemática. Estos dos aspectos no son contradictorios sino que se concilian en la construcción matemática. Por la inteligencia sentiente estamos en "la" realidad como ámbito transcendental y en él se proyectan los contenidos creados por postulados y axiomas. Esta realidad dada (transcendentalismo) "en y por postulados" (constructivismo) es la que "verdadea" en la intelección. Si cambia el contenido libremente construido del ámbito transcendental de realidad, entonces cambian las verdades matemáticas. Unos postulados nuevos originan un nuevo contenido de realidad transcendental, y, por consiguiente, una nueva verdad matemática. De ahí que las verdades matemáticas no sean necesarias en sentido absoluto, sino meramente relativo a "la realidad dada en y por postulados". El ámbito transcendental es campo de funcionalidad que se nos impone coercitivamente de tal modo que no nos salgamos de la realidad en la libre construcción de su contenido. El esbozo, como vimos, siempre es libremente construido y por eso no es de necesidad absoluta. Más adelante trataremos la cuestión de la historicidad de la verdad matemática, en cuanto realización de un sistema de postulados y axiomas.

Si la verdad matemática no es eterna, tampoco la lógica. El principio de contradicción antes que un principio lógico, nos dice Zubiri, es un principio de la realidad. Es la realidad inteligida que no puede ser de otra manera la que nos impide pensar lo contrario de ella. Aquí hallamos la respuesta zubiriana al texto inicial de Kneale[75]. La verdad de las afirmaciones no depende de unas reglas admitidas o de unos principios lógicos, en este caso del principio de contradicción. El ejemplo que pone Kneale, "Nada es completamente rojo y verde al mismo tiempo" depende de los caracteres de la realidad dada, es la imposibilidad real de esto la que nos lleva a la imposibilidad lógica y no al contrario. Dice Zubiri:

"Las verdades lógicas no son necesidades de conceptos sino caracteres de realidad dada. Si no se puede pensar lo contrario de ellos, no es porque su verdad sea eterna, sino porque la realidad inteligida misma como realidad, esto es, la afirmación en cuanto afirmada, es la que no puede ser de otra manera"[76]

Zubiri ante el equívoco al que se presta el término verdad de razón, puesto que no se trata de verdad de razón propiamente si por tal entendemos verdad de conceptos, sino de verdad de realidad, mundanal y cósmica de lo real campal, prefiere sustituir el término de "verdad de razón" por el de "verdad racional".

"...verdad racional no consiste en ser verdad de razón sino en ser verdad mundanal y cósmica de lo real campal"[77]

Una última aclaración sobre la distinción entre necesario y contingente, ¿niega Zubiri que exista la distinción entre necesario y contingente? Si hablamos de verdades, en efecto, no existe esta distinción entre verdades necesarias y verdades contingentes; sin embargo si hablamos de realidades, por el contrario, se da la distinción entre realidades necesarias y realidades contingentes. Es un problema de metafísica. Por tanto, únicamente puede hablarse de verdades de realidad necesaria o verdades de realidad contingente. La realidad en un caso será contingente y en otro caso podrá ser necesaria, pero no son dos caracteres en ningún modo de la verdad. Las verdades de las matemáticas, en cuanto verdades, son verdades de realidad del mismo modo como lo son las verdades de las ciencias naturales.

"Por tanto, no existen dos tipos de verdad, verdad de hecho y verdad de razón. Toda verdad es siempre y sólo ‘verdad de realidad’. Lo que sucede es que esta realidad es o bien realidad sentida como campal, o bien realidad mundanal y cósmica. Pero en ambos casos se trata de una misma e idéntica realidad en cuanto realidad. La realidad campal nos impele desde sí misma, en su modo de ‘hacia’, a lo mundanal; y lo mundanal está inteligido en lo real campal pero como encuentro y cumplimiento de un esbozo. Y este encuentro es la verdad racional’.[78]

Este texto es difícil de aplicar a la matemática; a nuestro modo de ver, en la filosofía de la matemática de Zubiri, no está claro cómo hay que entender las verdades campales y las verdades racionales en el dominio de la matemática. Si tomamos "lo real campal" como lo dado inmediatamente tanto en su contenido como en su formalidad de realidad, no habría ningún objeto matemático meramente campal, porque el contenido es construido en todos los casos. Luego, sólo podríamos hablar de los objetos matemáticos como realidades mundanales (pensadas transcendentalmente); y las verdades matemáticas serían exclusivamente verdades racionales, no campales. Sin embargo, Zubiri habla, respecto de la matemática, tanto de verdades campales como de verdades mundanales. Esta dificultad puede resolverse si tomamos la noción de "objetos en el campo" aplicado a la matemática no como objetos con un contenido dado inmediatamente, sino con un contenido dado "en y por postulados". La creación y descubrimiento (ya analizaremos más adelante la relación de estos términos) de nuevos objetos matemáticos enriquecen el campo de la matemática. La intelección campal consiste en inteligir un objeto matemático en función de otros objetos dados ‘en y por postulación"; por ejemplo, si intelijo "7+5" entre otros números y afirmo que es "13" y no cualquier otro número, se trata de un tipo de intelección campal o del logos. En la intelección campal o logos no hay propiamente búsqueda (ni encuentro), no hay esbozo (ni cumplimiento), sino un mero movimiento "entre" otras realidades postuladas. Por el contrario, en la intelección racional o mundanal hay una marcha que consiste en búsqueda y esbozo de un libre sistema de postulados y axiomas. Según la interpretación expuesta, el tipo de dinamismo de la inteligencia (movimiento o marcha) es lo que decide el tipo de verdad matemática, si es campal o si es mundanal

Otro criterio también válido en la matemática es la forma de realizarse "lo irreal" en el objeto matemático dado "en y por postulación", si es como nota es intelección campal y si es como fundamento es intelección racional. Pues bien, en estos dos sentidos puede aplicarse las nociones de campo y mundo a la matemática. La dificultad surge cuando queremos aplicarla en el sentido de las cosas sensibles, y exigimos a todas las cosas campales que tengan un contenido sensible. Esto nunca se da en la matemática en sentido primario, sí por "sensibilización" del contenido (según vimos en el constructivismo sentiente). Lo mundanal matemático está inteligido en lo real campal, pero no en unos contenidos sentidos concretos (un color, un sonido...), sino en la funcionalidad del campo (que nos es dada inmediatamente por las cosas "en y por sí mismas"), y es inteligido en el campo de funcionalidad de la realidad como encuentro y cumplimiento de un esbozo.

Pensamos que la dificultad planteada en la matemática, a propósito de los términos, "intelección campal" e "intelección mundanal", también se resuelve, en parte, si los sustituimos por "razón campal" y "razón mundanal". Puede resultar contradictorio decir "razón campal", sin embargo, Zubiri utiliza este término,

"Ahora bien, sentir algo como real es justo intelección sentiente. La intelección de la que la razón campal es modo, es la intelección sentiente. Sentiente no significa (ya lo vimos), que su objeto propio, primario y adecuado es sensible."[79]

 

2. Teoría de la Conformidad de la verdad matemática con lo real

 

En el constructivismo transcendental de la matemática, señalamos que la interpretación zubiriana del primer Teorema de Gödel consiste en la anterioridad de la realidad sobre la verdad. Y en el punto anterior hemos visto que el segundo Teorema de Gödel lleva a Zubiri al abandono de la Teoría de la Verdad como Consistencia, puesto que no es posible su probación en un sistema formal. Supone también un giro desde su concepción de la verdad matemática como verdad de razón, a priori, demostrativa, necesaria... a una concepción de la verdad matemática como verdad de realidad y de experiencia, dependiente de la postulación de realidad. Todo ello induce a la concepción de que la realidad funda la verdad matemática. Ya quedó esta cuestión más o menos adelantada en la comparación de la filosofía de la matemática de Zubiri y la de Lakatos, a propósito del problema sobre el fundamento de la verdad matemática.

A continuación veremos de qué modo la realidad puede fundar la verdad matemática, la aportación zubiriana a la concepción de la verdad matemática consistente en la teoría de la Verdad como Conformidad de la verdad matemática con la realidad matemática, y cómo hay que entenderla para evitar equívocos. Tratamos la cuestión en tres apartados:

1. La verdad real como fundamento de la verdad de Conformidad.

Toda verdad de conformidad envuelve la verdad real. Ahora bien, ¿Cuál es la verdad real de los objetos matemáticos? Esta cuestión es capital.

2. La verdad de Conformidad en la intelección matemática campal.

Ya apuntamos que el Teorema de Gödel nos lleva a la distinción entre conformidad y adecuación en la verdad campal matemática. Teniendo esta distinción en cuenta, podremos referirnos a los caracteres de la conformidad del logos matemático: evidencia, rigor, exactitud y certeza, sin que creamos que esto significa una total adecuación del juicio con la realidad matemática. Hay conformidad en los juicios matemáticos, adecuación no. Por otra parte dilucidaremos si estos caracteres de los juicios matemáticos (que Zubiri no niega a diferencia de los filósofos de la matemática que señalan el carácter empírico de las verdades matemáticas) se deben al modo de intelección propio de la matemática, o si los juicios matemáticos los tienen porque son propios de toda intelección campal en cuanto tal, sea del tipo que sea. Esta cuestión es crucial para decidir si la matemática es un modelo canó