The The Xavier Zubiri Review, Vol. 3, 2000/2001, pp. 7-28

Aproximación del realismo matemático de Gödel al
realismo constructivo de Zubiri

Guillerma Díaz Muñoz

Centro de Enseñanzas Integradas

Zaragoza, España

Introducción

Dado que tanto K. Gödel como X. Zubiri apoyan sus filosofías de la matemática en los resultados matemáticos del primero, sobre todo en su celebérrimo Teorema de incompletitud (1931),[1] cabe esperar alguna similitud entre sus posturas. En ambos casos nos hallamos ante la adopción de un nuevo tipo de realismo matemático.

Si bien es verdad que Gödel en algunos textos defiende el realismo platónico, en su conjunto apreciamos en él un denodado esfuerzo por abrir una nueva vía de intelección de la naturaleza de la Matemática. Sus intuiciones son enormemente sugestivas; aunque, como él afirma en su célebre conferencia de 1951, carezcan de total rigor “como consecuencia del estado poco desarrollado de la filosofía”.[2] Y a pesar de su gran esfuerzo por elaborar una Metafísica, confiesa no lograrlo satisfactoriamente. He aquí, pues, el primer reto para el filósofo: desarrollar una filosofía realista que permita exponer rigurosamente el realismo matemático que se infiere de la Matemática gödeliana. Pensamos que éste ha sido uno de los propósitos de la genuina filosofía realista zubiriana, expuesta en su madurez en la Trilogía sobre la intelección—cuya piedra de toque es el Teorema de incompletitud de Gödel-. Según nuestro parecer, ésta permite dotar de rigor filosófico a las sugestivas ideas de Gödel.

El fin del presente artículo es mostrar el realismo constructivo[*] matemático de Zubiri como riguroso desarrollo del realismo matemático de Gödel; y a éste, por tanto, como realismo constructivo más que platónico.

1. Biografía intelectual comparada de Zubiri y Gödel

La simultaneidad de la biografía intelectual de Gödel y Zubiri quiere hacer plausible la proximidad del realismo matemático de Gödel y el zubiriano. Éste se ha gestado, en parte, como exigencia de las implicaciones filosóficas del Teorema de Gödel. El paralelismo entre nuestros autores mostrará cómo Gödel, uno de los matemáticos más grandes de la historia, tiene gran formación e interés por la filosofía; y cómo Zubiri, un genuino filósofo, tiene gran formación e interés por la matemática, especialmente por el Teorema de Incompletitud de Gödel. Vamos a ir esbozando cómo ambos tienen en común la defensa del realismo matemático y filosófico con apoyo científico en el Teorema de incompletitud. (Favor de examinar la Tabla 1 en la página siguiente).

Tabla 1 Biografía Intelectual de Gödel y Zubiri
1898	Gödel	Zubiri Nace el 4 de diciembre en San Sebastián
1906 1914	Nace el 28 de abril, en Brünn (Moravia)	“Magia Parda”. En este artículo, en el que expone un juego matemático, Zubiri ya da muestra de su temprano interés por la Matemática.
1920		Comienza en Lovaina los cursos para obtener la Licenciatura en Filosofía. Asimismo, asiste a los cursos de Física y Matemática con La Vallé-Poussin.
1921	Interés por la Matemática y la Filosofía.	Tesina: Le probleme de l’objetivité d’après Ed. Husserl: La logique pure. Universidad de Lovaina. Tanto el autor elegido—filósofo y matemático- como el tema—la lógica y la objetividad del juicio—muestran un importante factor de su orientación intelectual. Tesis doctoral: Ensayo de una teoría fenomenológica del juicio (publicada en 1923). En ella explícita dos convicciones, reveladoras de la gestación de su propia Filosofía en relación con la Matemática: el interés filosófico de la matemática; y, concretamente, la dependencia de los tipos de Filosofía de las distintas interpretaciones de la Matemática (p. 12).
		Apoyado en los resultados de la Matemática de finales del s. XIX y primer cuarto de s. XX, sostiene un CONCEPTO OBJETIVISTA-IDEAL de la MatemAtica (hasta 1931): Es creación nuestra; objeto ideal; evidencias apodícticas; método deducción lógica; verdad adecuada; opuesta a Ciencias empíricas. Esta interpretación de la Matemática le lleva a una Filosofía de la Objetividad. Es el inicio de la ETAPA FENOMENOLOGICA o DE LA OBJETIVIDAD (hasta 1931): Las cosas, correlato objetivo e ideal de la conciencia. La esencia, anterior a la existencia, es ideal; constituida por notas no-contradictorias. Su conocimiento, absoluto e infalible.
1925	Asistencia al curso 1925/26 de Filosofía de H. Gomperz
1926	Es significativo señalar que en esta fecha adopta el realismo MATEMATICO y conceptual, que será principio heurístico del descubrimiento de su Teorema de 1931. Participa en el Círculo de Moritz Schlick (posterior Círculo de Viena). Comparte su interés por los fundamentos de la matemática, pero no su empirismo estricto, anti-metafísica y concepción “sintáctica” de la matemática.
1928	Asiste al curso 1928/29 sobre “los fundamentos filosóficos de la aritmética” de Carnap. Conoce la conferencia que da Hilbert en Bolonia, sobre el problema de la completud y consistencia de los sistemas matemáticos.	Asiste a cursos y conferencias de Husserl y Heidegger en Alemania.
1929	Renuncia a la ciudadanía checa y adquiere la austríaca. Tesis doctoral sobre la completitud de la lógica elemental.	El curso 1929-30 estudia en Berlín: Matemáticas, Física teórica, Ciencias Naturales, etc. Entabla amistad, con Planck, Schrödinger y Einstein.
1930	Prueba la suficiencia del cálculo lógico de primer orden. Del 5-7 de septiembre asistió al congreso de Königsberg sobre Epistemología de las Ciencias Exactas. En él participaron: Carnap, Heyting, J.v. Neumann y Waismann. Anunció sus resultados de incompletitud de la aritmética. Y manifestó sus dudas filosóficas sobre el programa formalista.	Cabe presumir que Zubiri, dado su interés por la Filosofía de la Matemática, asistiera a este congreso o se hiciera pronto con sus ponencias y comunicaciones.
1931	A principios de año se publica el célebre artículo “Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas conexos”. Prueba que un sistema formal consistente que contenga parte de la Aritmética es incompleto y no se puede probar en él su consistencia. Correspondencia con Zermelo. El 2 de julio probó que la verdad aritmética no es definible en aritmética.	Zubiri está en Berlín, donde contacta y tiene amistad con eminentes científicos, como Einstein. La relación del Círculo de Berlín con el de Viena hace verosímil que Zubiri conociese el artículo de Gödel. En octubre vuelve a la Cátedra de Historia de la Filosofía en la Universidad Central de Madrid.
1932	Presentó su célebre artículo en la Universidad de Viena para su Habilitación.	Es significativo que Zubiri fije en esta fecha su Abandono del OBJETIVISMO-IDEAL de la MatemAtica. En ella expresa: “Los números, el espacio, las ficciones, tienen también, en cierto modo, su realidad” (“Qué es saber”, 1935, en NHD, 74). Esta nueva interpretación de la Matemática se corresponde con el inicio de su ETAPA ONTO-LOGICA (hasta 1944). Defiende que, al igual que los objetos matemáticos, las cosas no son correlato objetivo e ideal de la conciencia, sino cosas dotadas de estructura entitativa. Señala que la lógica formal se funda en la “lOgica de la realidad”, y no al revés.
1935	Descubrimiento de los conjuntos constructibles (a los que se referirá Zubiri en Inteligencia y Logos al exponer su noción más radical de construcción desde la inteligencia sentiente).
1938-39	Gödel prueba la consistencia de la hipótesis del continuo y del axioma de elección respecto a los axiomas de la teoría de conjuntos	Desde 1936-1939 Zubiri está en París. Profundiza en la Matemática (y otras ciencias) en contacto con eminentes especialistas. Son expresivas las palabras de C. Castro sobre el gran interés por la Matemática de Zubiri: “Su ciencia dilecta, la matemática, tanto le gustaba, que en 1939 le entraron ganas rabiosas de hacerse ingeniero en el politécnico de Zürich” (1986, p. 28). En diciembre, es trasladado a la Universidad de Barcelona (hasta 1942)
1940 1943	Gödel y su esposa Adele emigran a Princeton (New Yersey). Comienza sus contactos con Einstein (hasta que éste fallece en 1955 ) A partir de esta fecha hasta su fallecimiento, Gödel se dedica, sobre todo, a la Filosofía de la Matemática y en general.
1944	Primer ensayo filosófico: “La lógica matemática de Russell”. En él expone una FILOSOFIA REALISTA O “PLATONICA” de la lógica: Hay similitud entre la intuición matemática y la percepción sensible; las clases y conceptos son realidades independientes de nuestras creaciones y no son una “manera de hablar”; la matemática ha perdido su “absoluta certeza”. Este nuevo planteamiento exigirá, sin duda, una nueva noción de intelección, realidad y verdad.	Publica: Naturaleza, Historia, Dios Es significativo que Zubiri marque en esta fecha el Inicio de la ETAPA METAFISICA o FILOSO-FIA DE LA REALIDAD; y todavía lo son más sus palabras a la luz del contexto intelectual de Gödel: “En ella me he visto forzado a dar una idea distinta de lo que es la intelección, de lo que es la realidad y de lo que es la verdad. Son los capítulos centrales del libro Inteligencia sentiente” (NHD 16-17, 1980).
1946	Gödel pasa de ser miembro ordinario a miembro permanente del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. El día 17 de diciembre, da una conferencia sobre problemas de las matemáticas en el Congreso de matemáticos en la Universidad de Princeton, con motivo de la celebración del bicentenario de su Fundación. Sugirió la idea de estudiar los conceptos de demostrabilidad absoluta y definibilidad absoluta.	Zubiri viaja con su esposa y colaboradora, Carmen Castro, a Princeton. Ahí está el padre de C. Castro, Américo Castro, como profesor desde 1940—igual que Gödel—. Son relevantes las palabras de Carmen Castro respecto del tema que nos ocupa: Sí le gustaba el estilo universitario de Princeton, única Universidad americana que conoció, y donde también gustó él” (Ibíd, p. 85). Xavier encontró en Princeton a muchos profesores europeos conocidos, que habían recabado para sí aquella Universidad, y el célebre “Instituto” que reunía sabios. Conoció a otros famosos de quienes bien conocía la obra. En aquella Universidad, el 2 de octubre de 1946, Xavier dio una conferencia en francés, sobre “Le réel et les mathematiques: un problème de philosophie”, en la “Class of 1879 Hall”, que era la Biblioteca del Departamento de Filosofía, ante filósofos, matemáticos y físicos de nombre famoso”. (C. Castro, 1986, p. 83) Lamentablemente no se conserva la intervención de Zubiri, pero es presumible su referencia al Teorema de Gödel y que éste, dado su interés por la realidad de la matemática, fuese uno de los matemáticos famosos presentes, o al menos tuviera pronto conocimiento de ella.
1947	“¿Qué es el problema del continuo de Cantor?”. Expone la realidad de los conjuntos.
1948 1949	Recibe la nacionalidad americana. “Una observación sobre la relación entre la teoría de la relatividad y la filosofía idealista”.
1951	Recibe el premio Einstein. El 26 de diciembre en la Brown University Providence (Rhode Island), invitado por la American Mathematical Society, imparte la magistral conferencia: Some Basic Theorems on the Foundations of Mathematics and Their Philosophical Implications (Gibbs Lecture). En ella explicita su REALISMO MATEMATICO, que curiosamente está más próximo al zubiriano—por esas fechas tampoco expuesto todavía con el rigor de la Trilogía sobre la intelección- que al “platónico”. Defiende que la Matemática no es sólo libre creación; hay algo más que la sensación real y “dado” por la intuición, que restringe la libertad para formar nuestros conceptos matemáticos. Su objeto es real. Su método no es la mera deducción lógica, ni su verdad la demostrabilidad. Su conocimiento es falible e incompleto, como las ciencias empíricas. Filosofía de la mente: Ésta no puede reducirse al cerebro. Oposición al materialismo filosófico.
1952	La Universidad de Harvard le concede el título de Doctor honorario en Ciencias y le distingue como “el descubridor de la verdad matemática más significativa de este siglo”.
1953 1955	Acepta la invitación de Schilpp para escribir un ensayo sobre la filosofía de Carnap. Trabaja varios años sobre ésta, según distintas versiones, pero no llega a publicarlo (se hace en 1994). Frente a Carnap y el Positivismo Lógico, Gödel defiende que la Matemática no puede ser sintaxis del lenguaje, sino ciencia de objetos reales. Es profesor titular del Instituto de Estudios Avanzados hasta su muerte. Es elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias.	Curso oral El problema del hombre (1953-4). Recurre al Teorema de Gödel (SH 649) para apoyar que el objeto matemático es “realidad objetual, que trasciende del ámbito con que yo me lo represento” y para su crítica de la anterioridad del mundo ideal sobre el real y de la noción de intencionalidad de Husserl (no es primariamente la versión de la conciencia a la realidad, sino viceversa, de ésta a la conciencia).
1958	*Ensayo sobre Bernays, “Sobre una extensión de una matemática finitaria que no se ha empleado todavía”. Señala la falta de un concepto preciso de “evidencia intuitiva” y “evidencia abstracta”. (Zubiri distinguirá videncia en la aprehensión primordial de realidad y evidencia en logos y razón; toda evidencia está mediada). Gödel señala la conveniencia, para probar la consistencia de la aritmética clásica, de que el constructivismo prescinda de la exigencia finitaria de la construcción espacio-temporal. (Éste es el sentido que parece tener en Zubiri).
1959 1961	Gödel lee a Husserl. Es elegido miembro de la Sociedad Filosófica Americana.
1962	Gödel se sumerge en un libro filosófico de especial interés para él, pero no menciona su título. Gödel publicó el “Postscriptum al ensayo de Spector”. Trata el papel de la constructividad en la Matemática.	Sobre la Esencia. El Teorema de Gödel juega un papel esencial (p. 66). Es apoyo para defender la entidad positiva de los objetos matemáticos (frente a las objetividades intencionales); para el abandono de la anterioridad del concepto objetivo respecto de la cosa rea; y para entender la “posibilidad” desde la realidad y no como conjunto de notas no-contradictorias. Zubiri conceptúa la esencia en función de la “constructividad” intrínseca (cf. SE, 355-6)
1963 1964	Gödel añade un suplemento y posdata a su artículo sobre Cantor con motivo de su segunda edición en la antología de P. Benacerraf y H. Putnam: Philosophy of Mathematics. Selected Readings. Muestra una similitud entre la percepción de los objetos sensibles y la intuición matemática, pues hay axiomas matemáticos que nos fuerzan a aceptarlos como verdaderos. Esta intuición no ofrece los objetos matemáticos, sino algo real a partir de lo cual se forman. Esta “realidad dada” no es la sensación.	Cinco lecciones de Filosofía
1969		1969-70, curso Los problemas fundamentales de la metafísica occidental. Se apoya en el Teorema de Gödel (1994, 160) para refutar la tesis “logicista” de Leibniz de la prioridad de lo ‘posible’ sobre lo existente, de la ‘idea’ sobre lo real y de la ‘esencia’ sobre la existencia.
1970		Sobre el tiempo (2 lecciones )
1971		Fundación del Seminario Xavier Zubiri
1973 1975	El presidente Ford le concede la Medalla Nacional de Ciencias.	El Espacio (4 lecciones) “La concreción de la persona humana”, expuesto en Sobre el hombre. Afirma que no hay actividad intelectual “y” actividad cerebral, sino única actividad intelectivo-cerebral.
1978	Fallece el 14 de enero en Princeton. El Instituto de Estudios Avanzados organiza un encuentro en su memoria el 3 de Marzo, presidido por A. Weil.
1979	La Association for Symbolic Logic dedica un Congreso a Gödel.	La República Federal Alemana le condecora con la medalla “Das Grosse Verdienst Kreuz”.
1980 1981 1982	Adele muere y lega el Nachlass de Gödel al I.A.S. 1ª ed. de las Obras Completas de Gödel. Intr. y trad. de Mosterín.	Inteligencia sentiente. Ofrece una nueva noción de inteligencia, realidad y verdad. Sentir e inteligir son momentos de un sólo acto de impresión de realidad: la inteligencia sentiente. Real significa que los caracteres que lo aprehendido tiene en la aprehensión son “en propio”, “de suyo”. Y verdad es realidad presente en intelección, en cuanto presente. Inteligencia y logos. Zubiri ofrece un realismo constructivo matemático apoyado en el Teorema de Gödel; sobre todo, en “La realidad de lo matemático” (pp. 133-146). Significa la anterioridad de lo real sobre lo verdadero en la Matemática, y en la intelección en general (p. 145-6); y la aproximación aspectual de la verdad matemática a la realidad (pp. 327-8).
1983		Premio Nacional Santiago Ramón y Cajal. 1982-3 “Génesis de la realidad humana” (último trabajo completo que escribió Zubiri). Se recoge en Sobre el hombre (capítulo octavo). Defiende el “materismo”, frente al materialismo: la materia da de sí su propia elevación a estructuras superiores. La intelección es cerebral y el cerebro inteligente. Inteligencia y razón. Menciona el T. de Gödel (p. 253) para defender la Matemática como ciencia de realidad y la prioridad de la aprehensión de realidad sobre la estructura lógica en el método matemático. Fallece el 21 de septiembre en Madrid.
1985	El día 1 de abril los trabajos de Gödel quedan disponibles en la Biblioteca Firestone de la Universidad de Princeton.
1986 1987	Publicación del I vol. de los Collected Works de Gödel, con los textos originales. Sociedad Gödel en Austria	Sobre el hombre (T. de Gödel en p. 649)
1989		Estructura dinámica de la realidad
1992		Sobre el sentimiento y la volición
1993		El problema filosófico de las religiones.
1994 1996	Reconstrucción y publicación de los inéditos de Kurt Gödel: la “Conferencia Gibbs” y Sobre Carnap.	Problemas fundamentales de la metafísica occidental. (Teorema de Gödel, p 160) Espacio. Tiempo. Materia (T. de Gödel, p. 63-4. Concluye: “lo irreal no es simplemente una irrealidad carencial, sino que tiene algo positivo que está ante mis ojos”. Lo matemático es algo eminentemente real).

2. Presupuestos filosóficos útiles para conceptuar el realismo matemático

La concepción de la Matemática dominante alrededor de 1930 es la defendida por R. Carnap,[†] H. Hahn y M. Schlick. Consiste en una “combinación de nominalismo y convencionalismo”, con certeza apriorística y compatible con el empirismo estricto. Prescinde de la intuición y de cualquier objeto o hecho matemático, reduciéndola a sintaxis del lenguaje.[‡] Gödel se opone a ella apoyado en sus resultados[3] en “Is mathematics syntax of language?”[§]. Considera que su apariencia a priori razonable se debe a que “los resultados negativos sobre su viabilidad, en el sentido más sencillo y filosóficamente más interesante, no se han discutido nunca suficientemente”.[4]

Por su parte, nuestro matemático defiende que “para probar la consistencia de la matemática se necesita una intuición igualmente potente (aunque de un tipo diferente) con objeto de reconocer la verdad de los axiomas matemáticos”.[5] Mantiene que los juicios de la Matemática son analíticos, pero no significa que sean tautológicos o “vacíos” de contenido, porque de cualquier forma que ésta (o parte de ella) se construya, siempre se necesitan ciertos términos no definidos y ciertos axiomas sobre ellos.[6] Sin embargo, a pesar del carácter objetivo de la verdad matemática, su contenido y hecho no es ‘fáctico’, sino ‘conceptual’. Señala que “Lo que Carnap llama ‘contenido’ es realmente ‘contenido fáctico’“.[7]

Gödel ve claramente que para resolver la dificultad que envuelve la tarea de clarificar la naturaleza realista de la Matemática será de gran utilidad la elaboración filosófica sobre:

1. “la cuestión de la realidad objetiva de los conceptos y sus relaciones”,[8]

2. “el verdadero sentido de la oposición entre cosas y conceptos, o entre verdad fáctica y conceptual”, pues “no se comprende aún completamente en la filosofía contemporánea”.[9]

También ha debido verlo así Zubiri, pues en su obra tienen ambas cuestiones un lugar capital. Presentamos su tratamiento como desarrollo del planteamiento de Gödel.

2.1 Teoría realista del concepto y del juicio

Tanto Gödel como Zubiri defienden el realismo del concepto y del juicio, como soporte filosófico útil para la comprensión del realismo matemático. Ambos rechazan la teoría apriorística y subjetiva sobre los conceptos en general y matemáticos en particular y defienden su realidad objetiva.

El planteamiento zubiriano es original. Para él la cosa aprehendida en aprehensión primordial tiene un “qué” compactamente unido a un “esto” de sus notas y un “cómo” de su configuración. El movimiento que desrrealiza el “qué” y lo reduce a mero concepto es libre y creador, pero orientado desde la cosa real aprehendida. No se trata, pues, de ‘concepto de realidad’ sino de ‘realidad en concepto’, de “realidad terminada en libre qué”.[10] Los conceptos matemáticos son “intelección constructiva” a partir de las notas abstractas o “prescindidas” de las cosas. “El ‘qué-concepto’ es la realidad en construcción”.